Férová sázka

Férová sázka je taková sázka, při které je očekávaný výnos ze sázky pro všechny zúčastněné strany nulový. Strany jsou obvykle dvě: hráč a kasino, hráč a sázkovka, případně dva kamarádi, kteří mezi sebou uzavřou sázku. Vše si podrobně vysvětlíme na příkladech.

Očekávaný výnos ze sázky spočítáme na základě tzv. konceptu očekávané hodnoty – pro ni často používáme zkratku EV, která vychází z anglického Expected Value. Namísto slova „výnos“ můžeme použít synonyma jako (očekávaná) „hodnota“, „zisk“, „ztráta“ apod., ale jelikož je férová sázka neutrální, tj. žádná strana v dlouhém období nedosáhne ani zisku, ani neutrpí ztrátu, je možná vhodnější mluvit o nulovém očekávaném výnosu nebo o nulové očekávané hodnotě. To jen na úvod k terminologii.

Férová sázka je taková sázka, při které je očekávaná hodnota rovná nule (EV = 0). Z matematického hlediska je očekávaná hodnota vážený aritmetický průměr, kde možný zisk a ztrátu vážíme pravděpodobností zisku a pravděpodobností ztráty. Můžeme tedy také říci, že férová sázka je taková sázka, při které je průměrný výdělek nulový. V dlouhém období žádná strana nic nezíská, ani nic neztratí. V krátkém období, tj. při malém počtu her (kol, pokusů), ovšem může docházet k zisku jedné strany a ztrátě druhé strany. V dlouhém období se to však srovná a bude se přibližovat průměrnému výsledku 0.

→ Co je hazardní hra, a jde o hazardování, je-li EV nulová?

Na čtyřech různých hrách si ukážeme, jaký je vztah pravděpodobnosti a výplatního poměru, tzn., jak je například kompenzována nízká pravděpodobnost vyšší možnou výhrou a naopak.

Představme si, že si spolu zahrajeme následující čtyři hry. Pokud se mi podaří splnit podmínky v řádku „výhra“, zaplatíte mi částku uvedenou ve sloupci „Zisk/ztráta v Kč“. Jestliže se mi podmínky splnit nepodaří, zaplatím vám (ztratím) 1 Kč. Výhra a prohra jsou tedy vždy z mého pohledu. Hry, resp. jejich výplatní poměry, jsou nastaveny tak, aby šlo vždy o férovou sázku.

Hra 1 – hod jednou kostkou – „malá“ vs. „velká“

První hra je „symetrická“. Hodím-li kostkou 1, 2, nebo 3 (tj. malé číslo), zaplatíte mi 1 Kč. Padne-li 4, 5, nebo 6 (velké číslo), zaplatím vám 1 Kč (z mého pohledu jde o –1 Kč neboli ztrátu 1 Kč).

U této hry je jasné, že máme naprosto stejnou šanci na výhru/prohru. Pravděpodobnost, že vyhraji, tj. že hodím 1, 2, nebo 3, je 3/6 = 0,5. Stejným způsobem bychom spočítali i pravděpodobnost prohry z mého pohledu. Zde i v dalších příkladech, pokud máme pouze dvě možnosti, tj. výhru a prohru, můžeme pravděpodobnost prohry určit rovněž nepřímo, a to tak, že pravděpodobnost výhry odečteme od jedné (součet pravděpodobností musí být vždy roven 1).

EV = 0,5 × 1 Kč + 0,5 × (–1 Kč) = 0,5 – 0,5 = 0 Kč.

Výpočet znamená: pravděpodobnost výhry krát možná výhra + pravděpodobnost prohry krát možná prohra (tj. se záporným znaménkem).

Vidíme, že očekávaná hodnota či průměrný očekávaný výnos je pro nás oba nulový. Je možné, že po několika hodech někdo z nás bude v plusu, druhý ve ztrátě, ale v dlouhém období se to vykompenzuje a budeme na nule. Férová sázka ani jedné straně od samého počátku hraní nenadržuje. Zkusme další hry s asymetričtějšími pravděpodobnostmi a výplatními poměry.

Hra 2 – hod jednou kostkou – musím hodit šestku

Ve druhé hře budeme opět házet jednou kostkou. Je jedno, kdo bude házet, samozřejmě předpokládáme, že kostka je dokonale vyvážená a nikdo nepodvádí.

V této hře budu muset hodit šestku. Pokud se mi to nepovede, tj. hodím některé z čísel 1 až 5, budu vám muset, podobně jako u všech ostatních her, vyplatit 1 Kč. Pravděpodobnost, že se mi podaří hodit šestku je vždy 1/6 (= 0,16 periodicky). Pravděpodobnost, že se mi to nepodaří je 5/6, případně nepřímým způsobem se stejným výsledkem 1 – 1/6 = 5/6 (= 0,83 periodicky). Potud je vše snad jasné. Otázkou jen zbývá, jaký musí být výplatní poměr (můj zisk), který by v případě úspěchu (vrhnutí šestky) kompenzoval mou nižší pravděpodobnost.

Férový výplatní poměr či férový sázkový kurz (stejná metodika se používá u kurzových sázek, které jsou obvykle hlavně u sportu) je převrácená hodnota pravděpodobnosti. Pravděpodobnost, že hodím šestku je 1/6, převrácená hodnota je 1 ÷ (1/6) = 6. Měl byste mi tedy vyplatit 6násobek vkladu (6 Kč) – to je férový výplatní poměr odpovídající pravděpodobnosti. Pravděpodobnost, že vyhrajete Vy, je 5/6, převrácená hodnota je 1 ÷ (5/6) = 1,2. Tedy, pokud nehodím šestku, měl bych vám vyplatit 1 korunu a 20 haléřů (1,20 Kč).

Tyto férové výplatní poměry nyní můžeme poměřit/zkrátit: 6 ÷ 1,2 = 5, což můžeme rozepsat i takto: 6 ÷ 1,2 = 5 a 1,2 ÷ 1,2 = 1, a tedy 5 ku 1. Tak se dostaneme k tomu, že vždy, když se mi nepovede splnit podmínky dané hry, vám vyplatím 1 Kč (opět, z mého pohledu jde o –1 Kč).

V tabulce vidíme důkaz, že výplatní poměry jsou férové pro obě strany, protože průměrný výnos (nás obou) je nulový:

EV = (1/6) × 5 Kč + (5/6) × (–1 Kč) = 0 Kč.

V této hře (a v dalších ještě více) by výsledky mohly krátkodobě více kolísat. Pravděpodobně bych častěji prohrával 1 Kč tím, že by na kostce padaly hodnoty 1 až 5, ale tu a tam bych to vykompenzoval šestkou, kdy bych od vás dostal zaplaceno 5 Kč. V dlouhém období by nikdo z nás nevydělal, ani neprodělal, průměrný výnos (EV = 0) je pro obě strany opět nulový.

Hra 3 – hod dvěma kostkami – musím hodit součet 2 nebo 12

Nyní si zahrajeme hru se dvěma kostkami, kde je více možností. Mým cílem bude hodit součet 2 nebo 12. Když se mi to nepovede, zaplatím za každý neúspěšný pokus jako vždy 1 Kč. Hodit součet 2 nebo 12 je nejtěžší (nejméně pravděpodobné). Existuje pouze jedna možnost, jak hodit součet dva (1+1) a rovněž pouze jedna možnost, jak hodit součet 12 (6+6). Celkový počet možností, které při hře dvěma kostkami mohou nastat, je 6 × 6 = 36. Pravděpodobnost, že hodím 2 nebo 12 je 2/36 = 1/18. Pravděpodobnost, že se mi to nepovede, jsou všechny ostatní možnosti, a tedy doplněk do jedné: 1 – (2/36) = 34/36.

Jaký musí být výplatní poměr, abych měl vykompenzovanou nižší pravděpodobnost výhry, tedy aby sázka byla férová?

Férový výplatní poměr opět určíme jako převrácenou hodnotu pravděpodobnosti, tj. 1 ÷ (1/18) = 18. V případě výhry byste mi měl vyplatit 18 Kč. Naopak, v případě mé prohry bych já vám měl vyplatit 1 ÷ (1 – 1/18) = 1,058823529 Kč (výpočty jsou prováděny v Excelu bez zaokrouhlování). Poměříme-li či zkrátíme-li tyto výplaty, získáme 18 ÷ 1,058823529 = 17 neboli 17 ku 1.

Na rozdíl od předchozí hry bych asi ještě častěji prohrával – jako vždy po jedné koruně –, přece jen, hodit součet 2 nebo 12 je složitější (méně pravděpodobné) než hodit šestku na jedné kostce. Na druhou stranu by ale mé snažení bylo vykompenzováno výhrou 17 Kč a v dlouhodobém průměru by nikdo z nás ani nezískal, ani netratil => EV = 0, jak ukazuje výpočet v tabulce.

EV = (2/36) × 17 Kč + (34/36) × (–1 Kč) = 0 Kč.

Hra 4 – sázka na jedno číslo v ruletě

Nakonec si zahrajme klasickou kasinovou hru – ruletu, přesněji řečeno francouzskou ruletu, která má celkem 37 čísel (0 až 36). Vyberu si jedno jediné číslo a musím jej uhodnout. Bude-li vytočeno jiné číslo, zaplatím 1 Kč. Pravděpodobnost, že se mi podaří trefit jedno číslo je pouhých 1/37. Naopak proti mně (ve váš prospěch) hraje 36 čísel z 37.

V této hře, resp. při této sázce na jedno číslo v ruletě, je má šance na výhru ještě menší než v předchozích třech hrách. Je jasné, že i výplatní poměr by měl být vyšší, aby vykompenzoval nízkou pravděpodobnost a sázka byla férová (EV = 0).

Postup je už známý, použijeme převrácené hodnoty pravděpodobnosti: 1 ÷ (1/37) = 37. Pokud trefím jedno číslo, měl bych od vás dostat 37 Kč. Jestliže netrefím, měl bych vám vyplatit 1 ÷ (36/37) = 1,027777778 Kč. Po zkrácení tedy 37 ÷ 1,027777778 = 36  neboli 36 ku 1 – viz výplatní poměry (sloupec „Zisk/ztráta v Kč“) v tabulce.

EV = (1/37) × 36 Kč + (36/37) × (–1 Kč) = 0 Kč.

Při sázce na jedno číslo v ruletě budu pravděpodobně ještě častěji prohrávat 1 Kč než u předchozích třech her. Za to, když vyhraji, dostanu 36 Kč, a to mi pokryje některé ztráty nebo vytvoří polštář pro nadcházející ztráty. V průměru budeme oba opět na nule. I kdybychom například odehráli 1 milion her, teoreticky by ani jeden z nás neměl vydělat/prodělat.

Ruleta je reálná kasinová hra, proto se ještě můžeme spočítat, jak na tom budeme v reálu. Kasino nám nevyplatí férovou sázku, resp. férový výplatní poměr 36násobek vkladu, ale pouze 35násobek, to mu dává výhodu (marži) asi 2,7 %:

EV = (1/37) × 35 + (36/37) × (–1) = –0,0270 = –2,7 % (po vynásobení stem).

EV = 0 u všech her, přesto nejsou stejné

Viděli jsme, že všechny čtyři hry nabízejí pro obě strany vyrovnané šance, resp., že jsou z dlouhodobého pohledu neutrální. Očekávaný dlouhodobý průměrný výnos je nulový, a tak žádná strana nezíská, ani neztratí. Zdůrazňovali jsme vždy slovo „dlouhodobý“ a naznačili také, že v krátkém období může docházet k různě velkým výkyvům (jedna strana může mít přechodně štěstí a druhá smůlu).

Člověk nemusí být odborníkem na matematiku nebo na statistiku, aby vycítil, že čím větší je rozdíl mezi výplatními poměry (ten se postupně u her 1 až 4 zvyšoval), tím více může docházet ke krátkodobým výkyvům v ziskovosti/ztrátovosti obou stran. Ve statistice to přesně měří veličina zvaná rozptyl, která ukazuje, jak moc jsou či mohou být skutečné zisky a ztráty rozptýleny okolo očekávané hodnoty (dlouhodobého průměru). Pod odkazem naleznete teorii i praktický význam rozptylu.

Vřele také doporučujeme podrobně komentovaný příklad na varianci (variance je počeštěný anglický název pro rozptyl, který používají především pokeroví hráči). Z příkladu bude jasné, o co jde. Z rozptylu/variance (VAR) lze vypočítat směrodatnou odchylku (SD – Standard Deviation), pomocí které můžeme určit intervaly, v kterých se s určitou pravděpodobností budou naše skutečné zisky/ztráty pohybovat.

Předpokládejme, že se rozhodneme odehrát 100 her, resp. 100 kol či pokusů, u všech čtyřech her. V následující tabulce už jsou uvedena rozpětí, v kterých se ziskovost/ztrátovost bude nacházet s pravděpodobností vyšší než 99 procent (přesně 99,73 %, což už se téměř blíží jistotě 100 %). Nemusíte se bát, co je to za šílená čísla či vědu. Ukážeme si, jak se k číslům postupně dostaneme.

Vše už máme spočítáno pomocí Excelu a postup výpočtu je podrobně popsán pod dvěma odkazy výše. Tak zkusme jen výpočet třeba pro druhou hru, kde se hází jednou kostkou, a musím hodit šestku. Připomeňme, že když hodím šestku s pravděpodobností 1/6 získám 5 Kč, když hodím jiné číslo (s pravděpodobností 5/6) ztratím 1 Kč.

Výpočty pro 1 hru (pokus)

Očekávaný průměrný výnos (EV) z jedné hry je nula:

EV = (1/6) × 5 + (5/6) × (–1) = 0 Kč.

Nyní spočítáme rozptyl (varianci – VAR):

VAR = (1/6) × (5 – 0)2 + (5/6) × (–1 – 0)2 = 5 Kč.

Směrodatná odchylka SD je druhá odmocnina z VAR:

SD = druhá odmocnina z 5 = 2,236067977 Kč.

Výpočty pro 100 her (pokusů)

Očekávaný průměrný výnos ze 100 her je také nula, neboť jednotlivé EV (rovno nule) vynásobíme 100 hody a, jak známo, cokoliv vynásobíme nulou, je nula:

EV = 0 Kč × 100 hodů = 0 Kč.

Tento závěr je v pořádku, neboť dlouhodobý průměrný výnos má být dle předpokladu pro obě strany nulový. Spočítejme nyní varianci pro 100 her (hodů):

VAR = 5 Kč × 100 hodů = 500 Kč.

Směrodatná odchylka pro 100 hodů:

SD = druhá odmocnina z 500 = 22,36067977 Kč (počítáno v Excelu bez zaokrouhlování).

Nyní můžeme použít tzv. pravidlo o třech směrodatných odchylkách (3 SIGMA), které mj. říká, že 99,73 % všech hodnot (v našem případě zisků a ztrát) se nachází v intervalu: průměr (EV) minus/plus trojnásobek směrodatné odchylky. „Minus“ určuje dolní hranici intervalu, „Plus“ horní hranici intervalu:

Dolní interval (min) = EV – 3 × SD = 0 – 3 × 22,36067977 Kč = asi –67 Kč.

Horní interval (max) = EV + 3 × SD = 0 + 3 × 22,36067977 Kč = asi +67 Kč.

A závěr? Odehrajeme-li spolu 100 hodů ve hře č. 2 – kde já musím hodit šestku, abych vyhrál 5 Kč, a pokud ne, tak zaplatím 1 Kč –, pak podle předpokladu by ani jeden z nás neměl vydělat/prodělat. Bilance nás obou by měla být nulová. To je určitý střední výsledek, ke kterému by dlouhodobé hraní této hry směřovalo.

Avšak v krátkém období, a to s pravděpodobností 99,73 % (tj. téměř hraničí s jistotou), je možné, že by zisk jednoho (a ztráta) druhého se mohly pohybovat v intervalu <–67 Kč, +67 Kč>. To znamená, že kdyby jeden z nás měl obrovské štěstí (druhý obrovskou smůlu), tak by mohl vyhrát až 67 Kč (druhý prohrát až 67 Kč). To pravděpodobnost připouští.

Čím větší rozptyl, tím větší možné krátkodobé výkyvy. Již výše v textu u první hry jsme uvedli, že je „symetrická“, a že je možné očekávat nejmenší krátkodobé výkyvy, přesně –30 až +30 Kč.

Čím vyšší rozdíly v pravděpodobnostech a výplatních poměrech, tím vyšší mohou být výkyvy (měřené rozptylem). U třetí hry se dvěma kostkami a nutností hodit součet 2 nebo 12 se výsledky mohou krátkodobě pohybovat v rozmezí –124 až +124 Kč.

U čtvrté hry, sázky na jedno číslo v ruletě, je největší rozptyl možných krátkodobých výsledků, které se mohou nacházet v intervalu –180 až +180 Kč. Znovu ale dodejme a zdůrazněme, že u všech čtyřech her by se výsledek měl blížit očekávané hodnotě nula. Ve všech čtyřech případech jde o férové sázky, na kterých by ani jedna strana v dlouhém období nevydělala/neprodělala.

Proč kasino nevyplatí férovou sázku

Kasina a sázkové kanceláře jsou podniky založené za účelem zisku. Aby mohly vydělávat, musí si zajistit určitou výhodu. Jejich obchodní model je založen na kladné očekávané hodnotě. Hráčům vyplácí méně, než co by odpovídalo pravděpodobnosti (férové sázce). Očekávaná hodnota hráče je záporná. V dlouhodobém průměru bude ztrácet určité procento z vkladu (viz výše uvedená ukázka sázky na jedno číslo v ruletě) a samozřejmě platí, že co hráč ztratí, to kasino získá.

→ Marže sázkových společností u kurzových sázek.

Kasino má matematicky zajištěnou výhodu, očekává průměrný dlouhodobý kladný výnos. Není přesné mluvit o zisku (ten se určí jako rozdíl mezi výnosy a náklady), ale spíše o marži. V hazardním průmyslu existuje velká spousta her a konkrétních sázek, u nichž se může výhoda kasina značně lišit. Například v ruletě je u většiny sázek 2,7 %. To znamená, že kasino v dlouhém období vydělá v průměru 2,7 haléře z každé vsazené koruny. Čím vyšší objem sázek, tím vyšší tržby.

Kdyby kasino vyplácelo férovou sázku, fungovalo by nějakou dobu jako charita, než by úplně zkrachovalo. Při férové sázce EV = 0 = 0 %, je marže nulová, nula-procentní. Kasino by v dlouhém období nevydělalo vůbec nic. Přitom by mu však zůstaly nemalé náklady na provoz budovy, mzdy zaměstnanců, zabezpečení apod. Výnosy ze sázení by byly nulové a financovat všechny náklady by se jinak než charitou nazvat nedalo.

Mohlo by vás také zajímat

• Nejlepší hry podle návratnosti pro hráče (žebříček);
• Aritmetický průměr (vážený);
• Články o pravděpodobnosti;
• Očekávaná hodnota;
• Rozptyl;
• Příklad na rozptyl (varianci);
• Výpočet a praktické využití variance u pokerového turnaje pro 9 hráčů.