Hazardní hryPravděpodobnost › Očekávaný výnos a riziko při podnikání

Očekávaný výnos a riziko při podnikání

Na stránce Očekávaná hodnota u hazardních her v příkladech jsme si řekli, že očekávaná hodnota nalézá široké využití i v běžném životě, například v podnikání nebo při investování. Demonstrujme si to na následujícím příkladu, který nám umožní rozhodnout se, který ze dvou možných výrobků je lépe vyrábět a realizovat na trhu s přihlédnutím k očekávanému výnosu a riziku.

Reklama

Výchozí předpoklady příkladu

Předpokládejme, že máme omezené množství finančních prostředků, a proto můžeme vyrábět pouze jeden ze dvou výrobků: buď výrobek A, nebo výrobek B (stejný postup lze však použít pro libovolný počet výrobků). Hlavním kritériem pro výběr výrobku je maximum výnosu. Protože máme pouze dva výrobky, vybereme výrobek s vyšším očekávaným výnosem.

Poznámka: v podnikání a investování operujeme s pojmem výnos, proto je zde očekávaný výnos (expected return) pouze jiným označením očekávané hodnoty (expected value – EV).

Očekávaný výnos a riziko při investování, sestavení investičního portfolia

Dále uvažujeme tři možné varianty vývoje, tzv. scénáře (scenarios), a sice, že výrobek bude velmi úspěšný, normálně úspěšný, či neúspěšný. Každý ze scénářů může nastat s určitou pravděpodobností, kterou odhadneme na základě našeho subjektivního názoru, zkušeností či průzkumu trhu (součet pravděpodobností musí být roven 1). Podobně odhadneme i scénářům odpovídající výnosy v procentech za rok.

Výchozí údaje (scénáře vývoje, jejich pravděpodobnosti a odhadované výnosy) a výpočty (očekávaného výnosu a rizika) shrneme do následující tabulky. Který z výrobků A, nebo B budeme preferovat a proč?

Tabulka 1 – Výpočet očekávaného výnosu a rizika
Výrobek APravděpodobnost pnVýnos xnpnxnxn-E(x)[xn-E(x)]2pn[xn-E(x)]2
úspěšný0,320 %61010030
normální0,512 %6242
neúspěšný0,2-10 %-2-2040080
Očekávaný výnos E(x)10 %Rozptyl σ2112
Riziko měřené směrodatnou odchylkou σ (sigma)10,58 %
Výrobek BPravděpodobnost pnVýnos xnpnxnxn-E(x)[xn-E(x)]2pn[xn-E(x)]2
úspěšný0,142 %4321024102,4
normální0,422 %91214457,6
neúspěšný0,5-6 %-3-16256128,0
Očekávaný výnos E(x)10 %Rozptyl σ2288,0
Riziko měřené směrodatnou odchylkou σ (sigma)16,97 %

Pravděpodobnosti scénářů a předpokládané výnosy

Jak údaje v tabulce interpretovat? Bude-li výrobek A velmi úspěšný, dosáhneme jeho prodejem výnosu 20 %, tento scénář však nastane s pravděpodobností 0,3 (nebo 30 %, chcete-li). Výrobek A bude normálně úspěšný s pravděpodobností 0,5 a výnosem 12 % a neúspěšný s pravděpodobností 0,2 a záporným výnosem –10 %.

Vidíme, že pravděpodobnost je určitou váhou, kterou scénáři přikládáme (součet vah se musí rovnat 1, resp. 100 %). Očekávaný výnos E(x) je váženým průměrem výnosů, kde váhami jsou pravděpodobnosti. Ale nepředbíhejme.

Pouhý pohled na charakteristiky výrobku B (pravděpodobnosti a výnosy) naznačuje, že se jedná o poměrně agresivní výrobek. Nabízí velmi vysoký výnos 42 % v případě, že výrobek bude velmi úspěšný, ale s pravděpodobností pouze 0,1 (10 %). Naopak pravděpodobnost neúspěchu je poměrně velká (0,5) a výrobek by přinesl ztrátu –6 %.

Jak spočítat průměrný roční (anualizovaný) výnos z výnosů ze více období (let)?

Výpočet očekávaného výnosu a rizika u obou výrobků

Očekávaný výnos

Pokusíme se nyní „rozsoudit” výrobky a vybrat výrobek s vyšším očekávaným výnosem. Očekávaný výnos výrobku A = 0,3 ˟ 20 + 0,5 ˟ 12 + 0,2 ˟ (–10) = 6 + 6 + (–2) = 10 %. Zjišťujeme však, že očekávaný výnos výrobku B je rovněž 10 %: 0,1 ˟ 42 + 0,4 ˟ 22 + 0,5 ˟ (–6) = 4 + 9 + (–3) = 10 %. Jsou oba výrobky stejně dobré?

Riziko jako směrodatná odchylka

Zhodnotíme ještě riziko = možnost odchylky od očekávaného výnosu; k tomu slouží poslední tři sloupce tabulky. Riziko můžeme kvantifikovat pomocí pravděpodobnosti a měříme jej směrodatnou odchylkou. Dospějeme k ní a vysvětlíme si ji pomocí následujících tří výrazů.

Výraz xn – E(x)

Výraz říká, jak se odchylují výnosy jednotlivých scénářů od očekávaného výnosu. Například u výrobku A: úspěšný scénář: 20 – 10 = 10, normální: 12 – 10 = 2, neúspěšný: (–10) – 10 = –20.

Výraz [xn – E(x)]2

Předchozí výraz, tj. odchylky od očekávaného výnosu, umocníme na druhou (pokud bychom je nyní sečetli, dostali bychom klasický rozptyl). Proč odchylky umocňujeme? Odpověď zní, aby nedošlo k eliminaci kladných a záporných hodnot.

Představme si, že bychom měli pouze tři hodnoty -1, 0, 1. Střední hodnota je tedy 0 a odchylky jsou: (–1) – 0 = –1, 0 – 0 = 0 a 1 – 0 = 1. Sečteme-li odchylky (–1) + 0 + 1, výsledkem je nula. Rozptyl hodnota kolem střední hodnoty (zde nuly) však není nulový! Proto odchylky nejprve umocníme na druhou, tím se ze záporných odchylek stanou kladné a teprve potom je sečteme: (–1)2 + 02 + 12 = 1 + 0 + 1 = 2, tj. klasický (a skutečný) rozptyl.

Nakonec sumu odchylek, tj. rozptyl, odmocníme a získáme tak směrodatnou odchylku, v tomto případě je druhá odmocnina ze dvou přibližně 1,4142 – právě o tolik se „v průměru” liší všechny hodnoty od střední hodnoty.

Výraz pn[xn – E(x)]2

Umocněné odchylky v předchozím kroku je třeba ještě vynásobit (vážit) pravděpodobnostmi a až teprve poté je sečíst. Získáme tak (vážený) rozptyl a jeho odmocněním (váženou) směrodatnou odchylku, která je hledaným reprezentantem rizika. U výrobku A činí 10,58 %, u výrobku B 16,97 %. Čím větší je směrodatná odchylka, tím vyšší je riziko (odchýlení se od očekávaného výnosu).

→ Tip: očekávanou hodnotu využijeme bohatě také při hodnocení loterijních her.

Vyhodnocení příkladu – výběr výrobku – a závěr

Oba výrobky dosahují stejného očekávaného výnosu 10 %. Na základě kriteria maximálního výnosu proto nemůžeme určit, který z výrobků je výhodnější. Uplatníme proto doplňkového pravidlo, které platí obecně: při stejném výnosu vybereme výrobek (investici) s nižším rizikem. Směrodatná odchylka (riziko) u výrobku A 10,58 % < 16,97 % u výrobku B. Upřednostníme proto výrobu výrobku A před výrobkem B.

Poznámka na závěr: ve světě investic, do kterého patří i výroba produktů, platí, že vyšší výnos obvykle nese vyšší riziko a naopak. Nejsme-li ochotni příliš riskovat, musíme se většinou spokojit s nižším výnosem. Zdali bude investor upřednostňovat vyšší výnos za cenu vyššího rizika, nebo nižší výnos za cenu nižšího rizika – odborně řečeno – záleží na jeho averzi k riziku.

Pro zájemce – určení intervalu, v kterém se bude výnos nacházet

Pomocí směrodatné odchylky, označované řeckým písmenem sigma, a tzv. pravidla „tři sigma” můžeme určit interval, ve kterém se bude pohybovat výnos výrobku s pravděpodobností přibližně 0,68 (68 % případů); 0,95 a 0,99. Dolní interval získáme tak, že od očekávaného výnosu odečteme jedno-, dvoj-, či trojnásobek směrodatné odchylky, horní interval tak, že k očekávanému výnosu přičteme jedno- až trojnásobek směrodatné odchylky.

Proto můžeme říci, že roční procentuální výnos u výrobku A se bude s pravděpodobností 0,68 nacházet v intervalu <10 – 10,58; 10 + 10,58>, tj. <–0,58 %; 20,58 %>.

Mohlo by vás také zajímat:

Všechny články o pravděpodobnosti;
Finance a hazardní hry;
Akcie;
Dividendy;
Je nákup akcií hazard?;
Průměrný roční výnos – jak spočítat.

EN Očekávaný výnos a riziko při podnikání v angličtině.

 
Copyright © 2007–2017 Jindřich Pavelka, Hazardní-Hry.eu – O webu | Reklama | Přístupnost | Podmínky používání | Mapa stránek | EN | FB |