Hazardní hryPravděpodobnost › Problém tří dveří

Problém tří dveří (Monty Hallův problém)

Problém tří dveří je pozoruhodná pravděpodobnostní úloha či přímo hádanka. Někdy se označuje jako Monty Hallův problém podle populárního moderátora americké soutěžní hry Let's make a deal (volně přeloženo jako Pojďme uzavřít dohodu či obchod).

Reklama

O co v hádance jde

Moderátor soutěže Monty Hall nabízí soutěžícímu výběr ze tří dveří, přičemž za jedněmi z nich je umístěno auto jako hlavní výhra a za zbývajícími dvěma dveřmi je umístěna koza jako cena útěchy. Soutěžící má za úkol vybrat si jedny dveře.

Poté však do hry vstoupí moderátor a otevře jedny ze dvou zbývajících dveří, za kterými je koza. Moderátor, u nějž předpokládáme poctivost, vždy otevře dveře, za kterými je koza a tuto skutečnost soutěžícímu ukáže. Vtip soutěže spočívá v tom, že nyní moderátor soutěžícímu nabídne, že může změnit svou původní volbu (může si ji ovšem i ponechat).

Pro lepší ilustraci to můžeme trochu konkretizovat. Označme dveře čísly 1, 2, 3. Soutěžící si vybere například dveře č. 1. Moderátor poté otevře dveře č. 3 a soutěžícímu ukáže, že za nimi stojí koza. Moderátor se dále zeptá soutěžícího, zdali zůstane u dveří č. 1, nebo zdali chce svou původní volbu změnit na dveře č. 2. Soutěžící nemá žádné jiné indicie.

A otázka zní: “Má zůstat u své původní volby, změnit své rozhodnutí, anebo je to jedno?“

Říkáte si, že zůstaly pouze dvoje dveře a je to tedy 50:50 – čili je lhostejné, které dveře si soutěžící vybere? Uvažujete stejně jako většina populace, odpověď je to ale bohužel nesprávná. Jak to?

Správné řešení

Ačkoliv to může vypadat na první pohled absurdně, pro soutěžícího je optimální změnit své původní rozhodnutí. Jak se však k tomuto závěru dostaneme?

Tušíme, že na počátku hry má soutěžící pravděpodobnost 1/3, že si vybere správné dveře (pouze za jedněmi z dveří je auto). Současně je zde ovšem pravděpodobnost 2/3, že si vybere dveře špatné.

Opět to můžeme konkretizovat na našem příkladu: pravděpodobnost, že auto bude za dveřmi č. 1, které si vybral náš soutěžící, je 1/3. Pravděpodobnost, že se auto nachází za dveřmi č. 2 nebo za dveřmi č. 3 je 2/3. To je velmi důležité pro výběr optimálního rozhodnutí v dalším průběhu hry! A už to i částečně naznačuje správné řešení.

Dále, jak víme, vstoupí do hry moderátor a ukáže soutěžícímu dveře č. 3, za kterými stojí koza a zeptá se soutěžícího, zdali zůstane u dveří č. 1, nebo zdali změní svou volbu a rozhodne se pro dveře č. 2. Vidíme, že soutěž probíhá ve dvou krocích, a to je klíčové pro správné posouzení hádanky (podmíněná pravděpodobnost), resp. pro výběr optimálního rozhodnutí.

Pro soutěžícího je optimální svou původní volbu změnit. To, že moderátor soutěžícímu ukázal další dveře (č. 3), za kterými auto není, nezužuje úlohu na dvě rovnocenné volby. Pravděpodobnost, že se auto nachází za dveřmi č. 2 nebo 3 se tím nikde nevytratí! Zůstat u původních dveří (č. 1) znamená zůstat u pravděpodobnosti 1/3, změnit rozhodnutí znamená zvýšit pravděpodobnost výhry na 2/3, a je to proto nejlepší možné rozhodnutí. Pořád se vám to nezdá?

Jak to lépe pochopit – více dveří

Správné řešení Monty Hallova problému lze lépe pochopit na příkladu více dveří. U pouhých tří dveří se totiž řešení trochu slije dohromady a nevyniknou tak rozdíly.

Zkusme proto rozšířit počet dveří na rovnou stovku. Soutěžící si opět vybírá pouze jedny dveře a pouze za jedněmi dveřmi se nachází auto. Pravděpodobnost, že soutěžící uspěje je pouze 1/100. Potud jasné. Nyní moderátor vstoupí do hry a ze zbývajících 99 dveří otevře 98 dveří, za kterými se nachází koza, což soutěžící vidí.

Opět se soutěžícího ptá, zdali chce zůstat u své původní volby, nebo ji změnit. Cítíte ten rozdíl oproti třem dveřím? – uznejte, že vybrat si na počátku správně jedny dveře, za kterými je auto, by byla velmi velká náhoda. Mnohem pravděpodobnější je, že se auto nachází za jedněmi ze zbývajících 99 dveří, a to od samého počátku a přesto, že vám moderátor 98 dveří ukázal. Proto je výhodné rozhodnutí změnit! (řešení úlohy se tím proto neredukovalo pouze na volbu 50:50).

Můžete namítnout, že moderátor vám nabídne změnu dveří pouze tehdy, pokud se vám náhodou podařilo hned zvolit správné dveře. Proto řekněme, že moderátor je nahrazen strojem, který náhodně ukáže všechny dveře kromě jedněch, za kterými je koza a jedny dveře vám ponechá. Podstata správného řešení se nemění, ba se tím potvrzuje – pro soutěžícího je optimální svou volbu změnit.

Poznámka: správnost tohoto rozhodnutí lze ověřit matematicky pomocí podmíněné pravděpodobnosti (u ní záleží na tom, co bylo „před“ určitou událostí). Někdy se problém tří dveří nazývá i Monty Hallův paradox, ale paradox není vhodné označení, protože ke správnému řešení lze dospět matematicky. Pouze řešení této úlohy je neintuitivní.

Mohlo by vás také zajímat:

Dva bíglové – pravděpodobnostní hádanka;
Pozoruhodný kostkový problém ze 17. století (Chevalier de Mere, Blaise Pascal);
V jakém složení se nejpravděpodobněji narodí 4 děti;
Jeden z nejstarších statistických důkazů o „božské prozřetelnosti“ při rození dětí;
Ze života: pravděpodobnost selhání dvou těhotenských testů po sobě;
Máte bezpečné heslo? Čas potřebný prolomení hesla hrubou silou;
Pravděpodobnost úspěchů při několika opakovaných pokusech – jak spočítat;
Články o pravděpodobnosti.

 
Copyright © 2007–2017 Jindřich Pavelka, Hazardní-Hry.eu – O webu | Reklama | Přístupnost | Podmínky používání | Mapa stránek | EN | FB |