Variace

Variace označujeme následovně: k-členná variace z n prvků. Jinak řečeno nás zajímá, kolik uspořádaných k-tic (dvojic, trojic…) z celkového počtu prvků (n) můžeme vytvořit. Slovo „uspořádané“ naznačuje, že záleží na pořadí prvků. Variace mohou být bez opakování, nebo s opakováním.

Reklama

U variací (na rozdíl od kombinací) záleží na uspořádání (pořadí) prvků. Máme-li například soubor o dvou prvcích, například 1 2, a chceme-li z něj vytvořit dvojice, pak 12 a 21 jsou dvě různé variace, ale pouze jedna kombinace (jež jsou neuspořádané neboli u nich na pořadí nezáleží).

Permutace jsou jen zvláštní formou variací, kdy počet členů v uspořádání se rovná celkovému počtu prvků (n = k). Například máme-li pět prvků, tvoříme pětice. Kdežto u variací můžeme tvořit třeba trojice z pěti prvků. Bližší vysvětlení a jednoduché příklady naleznete na stránce kombinatorika srozumitelně.

Variace bez opakování

Počet variací bez opakování – tzn., že v uspořádané k-tici se každý prvek vyskytuje nanejvýš jednou (žádný prvek se neopakuje) – je určen následujícím vztahem:

Vzorec Variace bez opakování

Příklad 1

Mějme tři různé prvky 1 2 3. Kolika způsoby je možné vybrat (uspořádat / seřadit) jeden prvek, dva prvky a tři prvky z této skupiny?

Řešení pro 1 prvek: V1(3) = 3! ÷ (3 – 1)! = 6 ÷ 2 = 3.

Jeden prvek lze vybrat třemi způsoby:
1
2
3

Řešení pro výběr 2 prvků: V2(3) = 3! ÷ (3 – 2)! = 6 ÷ 1 = 6.

Dva prvky lze vybrat šesti způsoby:
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2

Řešení pro výběr 3 prvků: V3(3) = 3! ÷ (3 – 3)! = 6 ÷ 1 = 6.
(nula faktoriál je zvláštní případ faktoriálu, který je roven jedné)

Tři prvky lze vybrat šesti způsoby:
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

Žádný prvek se v žádném řádku rozpisu neopakuje.

Variace s opakováním

U variací s opakováním se každý prvek v uspořádané k-tici vyskytuje nejvýše k-krát, to znamená, že prvky se mohou opakovat až k-krát. Počet variací s opakováním určíme podle vzorce:

Vzorec Variace s opakováním

Příklad 2

Mějme následující tři prvky 1 2 3. Kolik dvojčlenných variací s opakováním můžeme vytvořit?

Řešení: V'2(3) = 32 = 9.

Ze tří prvků je možné vytvořit 9 různých uspořádaných dvojic za předpokladu, že se prvky mohou opakovat:
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 1
3 2
3 3

Příklad 3

V předchozím příkladu byly tři prvky (n = 3) a vybírali jsme dvojice (k =2). Pro k-členné variace z n prvků bez opakování vždy platí, že k <= n. U variací s opakováním z n prvků může nastat i opačná situace. Můžeme například tvořit trojice (k = 3) ze dvou prvků (n = 2), tedy k > n.

Kolik tříčlenných variací s opakováním lze vytvořit ze dvou prvků 1 a 2?

Řešení: V'3(2) = 23 = 8.

Ze dvou prvků lze vytvořit osm různých uspořádaných trojic (tříčlenných variací) za předpokladu, že prvky se mohou opakovat:
1 1 1
1 1 2
1 2 1
1 2 2
2 1 1
2 1 2
2 2 1
2 2 2

Příklad 4: PIN

Zkusme ještě jeden praktický příklad. PIN tvoří čtyři (4) číslice, které mohou nabývat hodnot 0 až 9 (tj. jde o 10 prvků). Kolik různých čtyřmístných PINů existuje?

Řešení: protože se jednotlivé číslice v PINu mohou libovolněkrát opakovat (např. 1111, 2244), jde o variace s opakováním, přesněji řečeno o čtyřčlenné variace z deseti prvků:

V'4(10) = 104 = 10 000.

Odpověď: Existuje celkem 10 000 možností pro náš PIN. V tomto případě bychom k tomuto číslu dospěli i jednoduchou úvahou: PIN může nabývat hodnot 0000 až 9999, a to je 10 000 možností. Výpočet tuto domněnku pouze potvrdil. V jiných případech to ale nemusí být tak jednoduché.

Další příklad na variace? Třeba na stránce Heslo a doba potřebná k jeho prolomení nebo 7místný kód v Eurojackpotu, pomocí kterého můžete vyhrát „zdarma“ jeden milion korun.

Související témata:

Kombinatorika
Permutace
Kombinace
Články o pravděpodobnosti

 
Copyright © 2007–2017 Jindřich Pavelka, Hazardní-Hry.eu – O webu | Reklama | Přístupnost | Podmínky používání | Mapa stránek | EN | FB |