Variace
Variace označujeme následovně: k-členná variace z n prvků. Jinak řečeno nás zajímá, kolik uspořádaných k-tic (dvojic, trojic…) z celkového počtu prvků (n) můžeme vytvořit. Slovo „uspořádané“ naznačuje, že záleží na pořadí prvků. Variace mohou být bez opakování, nebo s opakováním.
U variací (na rozdíl od kombinací) záleží na uspořádání (pořadí) prvků. Máme-li například soubor o dvou prvcích, například 1 2, a chceme-li z něj vytvořit dvojice, pak 12 a 21 jsou dvě různé variace, ale pouze jedna kombinace (jež jsou neuspořádané neboli u nich na pořadí nezáleží).
Permutace jsou jen zvláštní formou variací, kdy počet členů v uspořádání se rovná celkovému počtu prvků (n = k). Například máme-li pět prvků, tvoříme pětice. Kdežto u variací můžeme tvořit třeba trojice z pěti prvků. Bližší vysvětlení a jednoduché příklady naleznete na stránce kombinatorika srozumitelně.
Variace bez opakování
Počet variací bez opakování – tzn., že v uspořádané k-tici se každý prvek vyskytuje nanejvýš jednou (žádný prvek se neopakuje) – je určen následujícím vztahem:
Příklad 1
Mějme tři různé prvky 1 2 3. Kolika způsoby je možné vybrat (uspořádat / seřadit) jeden prvek, dva prvky a tři prvky z této skupiny?
Řešení pro 1 prvek: V1(3) = 3! ÷ (3 – 1)! = 6 ÷ 2 = 3.
Jeden prvek lze vybrat třemi způsoby:1
2
3
Řešení pro výběr 2 prvků: V2(3) = 3! ÷ (3 – 2)! = 6 ÷ 1 = 6.
Dva prvky lze vybrat šesti způsoby:1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
Řešení pro výběr 3 prvků: V3(3) = 3! ÷ (3 – 3)! = 6 ÷ 1 = 6.
(nula faktoriál je zvláštní případ faktoriálu, který je roven jedné)
Tři prvky lze vybrat šesti způsoby:1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
Žádný prvek se v žádném řádku rozpisu neopakuje.
Variace s opakováním
U variací s opakováním se každý prvek v uspořádané k-tici vyskytuje nejvýše k-krát, to znamená, že prvky se mohou opakovat až k-krát. Počet variací s opakováním určíme podle vzorce:
Příklad 2
Mějme následující tři prvky 1 2 3. Kolik dvojčlenných variací s opakováním můžeme vytvořit?
Řešení: V'2(3) = 32 = 9.
Ze tří prvků je možné vytvořit 9 různých uspořádaných dvojic za předpokladu, že se prvky mohou opakovat:1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 1
3 2
3 3
Příklad 3
V předchozím příkladu byly tři prvky (n = 3) a vybírali jsme dvojice (k =2). Pro k-členné variace z n prvků bez opakování vždy platí, že k <= n. U variací s opakováním z n prvků může nastat i opačná situace. Můžeme například tvořit trojice (k = 3) ze dvou prvků (n = 2), tedy k > n.
Kolik tříčlenných variací s opakováním lze vytvořit ze dvou prvků 1 a 2?
Řešení: V'3(2) = 23 = 8.
Ze dvou prvků lze vytvořit osm různých uspořádaných trojic (tříčlenných variací) za předpokladu, že prvky se mohou opakovat:1 1 1
1 1 2
1 2 1
1 2 2
2 1 1
2 1 2
2 2 1
2 2 2
Příklad 4: PIN
Zkusme ještě jeden praktický příklad. PIN tvoří čtyři (4) číslice, které mohou nabývat hodnot 0 až 9 (tj. jde o 10 prvků). Kolik různých čtyřmístných PINů existuje?
Řešení: protože se jednotlivé číslice v PINu mohou libovolněkrát opakovat (např. 1111, 2244), jde o variace s opakováním, přesněji řečeno o čtyřčlenné variace z deseti prvků:
V'4(10) = 104 = 10 000.
Odpověď: Existuje celkem 10 000 možností pro náš PIN. V tomto případě bychom k tomuto číslu dospěli i jednoduchou úvahou: PIN může nabývat hodnot 0000 až 9999, a to je 10 000 možností. Výpočet tuto domněnku pouze potvrdil. V jiných případech to ale nemusí být tak jednoduché.
Další příklad na variace? Třeba na stránce Heslo a doba potřebná k jeho prolomení nebo 7místný kód v Eurojackpotu, pomocí kterého můžete vyhrát „zdarma“ jeden milion korun.