Legenda o vzniku šachu
O vzniku šachu a zdánlivě skromné odměně za jejich vynález se traduje půvabná legenda. Šachy prý vynalezl moudrý učenec z Indie – Sissa ben Dahir – před více než 2000 lety.
Indii vládl ne zrovna spravedlivě mladý král Šahram. I učený Sissa ben Dahir vymyslel hru v šachy a pomocí ní mladému králi otevřel oči. Dokázal králi, že se bez prostého lidu neobejde: „Podívejte, Vaše Veličenstvo, i takový malý pěšec může rozhodnout hru! A pěšci, to jsme my, obyčejný lid, proto s námi musíte počítat.“
Skromná odměna za vynález šachů?
Král se ze hry poučil a zeptal se učence, co si přeje odměnou za svůj vynález? Učenec odpověděl, že má pouze skromné přání, aby mu na první pole šachovnice dal jedno zrníčko pšenice, na druhé dvě zrníčka, na třetí čtyři, na čtvrté osm a tak dále, tedy na každé další pole vždy dvojnásobek zrníček z pole předchozího.
Král ocenil učencovu skromnost, ale odměna se mu zdála příliš malá. Když učenec trval na svém, vyslal král sběrače pšenice do všech koutů rozlehlé Indie. Záhy králi přišla šokující zpráva: v celé Indii není dost pšenice, abyste uspokojil učencovo přání!
Matematický výpočet
Král se nejprve rozzlobil a uklidil se až poté, co mu učenci vysvětlili, že zrníček by bylo třeba:
264 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615,
tj. astronomických více než 18 trilionů (jak se čtou velká čísla). Jak jsme k číslu dospěli? Stačilo by jednoduše zdvojnásobovat 1, 2, 4, 8, 16, 32 atd. (i když čísla později pěkně narůstají), jak ukazuje obrázek šachovnice níže, a zrníčka na všech polích sečíst.
Můžeme ale také uvažovat tak, že součet předchozích políček je roven druhé mocnině čísla minus jedna. Například vezměme si políčko H1, kde je 27 = 128. Součet předchozích políček je 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127, tj. 27 - 1 = 127. Na poli A1 je 20, na posledním poli H8 je 263. Představíme-li si imaginární 65. pole, pak součet zrníček na všech 64 polích šachovnice je výše zmíněných 264 - 1.
| Políčko | Počet zrníček | Políčko | Počet zrníček |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 33 | 4 294 967 296 |
| 2 | 2 | 34 | 8 589 934 592 |
| 3 | 4 | 35 | 17 179 869 184 |
| 4 | 8 | 36 | 34 359 738 368 |
| 5 | 16 | 37 | 68 719 476 736 |
| 6 | 32 | 38 | 137 438 953 472 |
| 7 | 64 | 39 | 274 877 906 944 |
| 8 | 128 | 40 | 549 755 813 888 |
| 9 | 256 | 41 | 1 099 511 627 776 |
| 10 | 512 | 42 | 2 199 023 255 552 |
| 11 | 1 024 | 43 | 4 398 046 511 104 |
| 12 | 2 048 | 44 | 8 796 093 022 208 |
| 13 | 4 096 | 45 | 17 592 186 044 416 |
| 14 | 8 192 | 46 | 35 184 372 088 832 |
| 15 | 16 384 | 47 | 70 368 744 177 664 |
| 16 | 32 768 | 48 | 140 737 488 355 328 |
| 17 | 65 536 | 49 | 281 474 976 710 656 |
| 18 | 131 072 | 50 | 562 949 953 421 312 |
| 19 | 262 144 | 51 | 1 125 899 906 842 624 |
| 20 | 524 288 | 52 | 2 251 799 813 685 248 |
| 21 | 1 048 576 | 53 | 4 503 599 627 370 496 |
| 22 | 2 097 152 | 54 | 9 007 199 254 740 992 |
| 23 | 4 194 304 | 55 | 18 014 398 509 481 984 |
| 24 | 8 388 608 | 56 | 36 028 797 018 963 968 |
| 25 | 16 777 216 | 57 | 72 057 594 037 927 936 |
| 26 | 33 554 432 | 58 | 144 115 188 075 855 872 |
| 27 | 67 108 864 | 59 | 288 230 376 151 711 744 |
| 28 | 134 217 728 | 60 | 576 460 752 303 423 488 |
| 29 | 268 435 456 | 61 | 1 152 921 504 606 846 976 |
| 30 | 536 870 912 | 62 | 2 305 843 009 213 693 952 |
| 31 | 1 073 741 824 | 63 | 4 611 686 018 427 387 904 |
| 32 | 2 147 483 648 | 64 | 9 223 372 036 854 775 808 |
| Součet zrníček na všech polích je 18 446 744 073 709 551 615. | |||
Kde vzít tolik pšenice?
Pohled na šachovnici ukazuje, že počet zrníček z počátku roste zdánlivě velmi pomalu, např. na konci první řady jde o pouhých 128 zrníček. Ovšem, podíváme-li se o další řadu výše, počet zrnek se závratně zvyšuje a na 64. políčku se dostaneme na zmíněnou hodnotu více než 9 trilionů zrníček pšenice. To je číslo, za které by se nemusela stydět kdejaká číselná loterie, pokud jde o počet kombinací.
Matematici spočítali, že aby král Šahram mohl vyhovět přání učence Sissy ben Dahira, bylo by třeba tolik pšenice, která by se za 10 let vypěstovala na celém povrchu země, počítaje v to i moře a oceány (které tvoří přibližně 70 % povrchu země)!
Zdvojnásobování počtu zrníček na každém políčku roste geometrickou (nikoliv jen aritmetickou) řadou a připomíná systém Martingale, slavný především z Rulety, který spočívá v tom, že hráč sází například stále stejnou barvu, dokud nepadne, přičemž v případě prohry zdvojnásobuje sázky. Šachovnice výše ukazuje, kam až se mohou sázky vyšplhat v případě delší nepříznivé série. Systém Martingale jsme i otestovali.
Na závěr dodejme, že tato půvabná legenda o vzniku šachu se nezakládá na pravdě. Šachy vznikly kolem roku 600 n. l. v Indii nebo v Persii. Pravidla byla postupně modifikována až do dnešní podoby.
Další zajímavosti:
- Jak hrát šachy o peníze;
- Fischerovy šachy (Chess 960) – pravidla, ukázky;
- Když se Google pustí do šachů: AlphaZero – nejlepším šachistou světa za 4 hodiny (05.12.2017);
- Kolika způsoby lze složit Rubikova kostka;
- MS v šachu 2016: po 7 remízách první výhra, Karjakin se ujímá vedení (22.11.2016);
- Mistrovství světa v šachu 2016: Carlsen vs. Karjakin – šance na výhru obou hráčů;
- Hra s čísly: kolik je 111 111 111 na druhou?
- Magický čtverec Albrechta Dürera;
- Velká čísla – jak se tvoří a čtou (názvy);
- Počty kombinací ve známých číselných loteriích;
- Kombinatorika srozumitelně na jednoduchých příkladech;
- Fantastický výlet do makro- a mikrokosmu;
- Vtipy o kasinech a hazardních hrách.
| 