Kostkový problém ze 17. století – hráče Chevalier de Mere
Jeden z nejznámějších problémů, který částečně položil základy vzniku moderní teorie pravděpodobnosti (Blaise Pascal viz dále), sahá do roku 1654 a je spojen se jménem vlámského renesančního hazardního hráče – Chevelier de Mere. Ten, mimo jiné, systematicky zkoušel své štěstí ve dvou kostkových hrách.
První kostková hra
Spočívala v hodu jednou kostkou. Chevalier de Mere příjímal sázky na to, že hodí minimálně jednu šestku ve čtyřech po sobě následujících hodech. Věděl, že pravděpodobnost padnutí šestky je v každém hodu 1/6. Domníval se, že jeho šance na padnutí šestky ve čtyřech hodech je tedy (1/6) × 4 = 2/3.
Druhá kostková hra
Druhá hra Chevaliera de Mere spočívala v hodu dvěma kostkami. Byl úspěšný, pokud se mu alespoň jedenkrát podařilo hodit 2 šestky ve 24 hodech. Opět věděl, že pravděpodobnost vrhnutí dvou šestek v jednom hodu je 1/36 (pouze jedna možnost z 6 × 6 možných případů). Předpokládal, že jeho šance je tedy (1/36) × 24 a tudíž opět 2/3.
Chybný předpoklad
Přesto při druhé hře v kostky utrpěl Chevalier de Mere značné finanční ztráty. Jsou šance na výhru v obou kostkových hrách skutečně stejné? V čem byl jeho předpoklad chybný?
Chevalier de Mere, v zoufalé snaze odhalit příčiny svého neúspěchu, se obrátil na svého přítele, vynikajícího francouzského matematika a fyzika, Blaise Pascala (1623–1662). Ten po pečlivé analýze skutečně objevil správné řešení problému, na který je třeba se podívat z jiného úhlu.
Správné řešení problému
Podstatou řešení kostkových problémů je nepřímé spočtení příznivých případů, tedy těch, kdy hráč vyhraje, na základě zjištění počtu nepříznivých možností vůči celkovému počtu možností, které mohou nastat. Podobným způsobem, na základě očekávané hodnoty, se hodnotí výhoda kasina u všech hazardních her. Následujme nyní dále Pascalovy úvahy.
V první hře, pokud házíme pouze jednou kostkou, je celkový počet možností, které mohou při 4 pokusech nastat:6 × 6 × 6 × 6 = 64 = 1 296
Celkový počet nepříznivých případů, kdy hráč prohraje, tj. nepadne šestka (1, 2, 3, 4, 5) je:5 × 5 × 5 × 5 = 54 = 625
Z toho můžeme odvodit, že počet možností, kdy hráč vyhraje je:1 296 − 625 = 671.
Nyní 671 > 625, tj. počet příznivých (výherních) případů je vyšší, než počet nepříznivých (proherních) případů a Chevalier de Mere byl v první hře s jednou kostkou skutečně ve výhodě.
Je jasné, že přímým výpočtem bychom se ke správnému počtu příznivých možností nedostali, neboť 1 × 1 × 1 × 1 = 14 = 1. Rozeberme si nyní druhou hru v kostky.
Při druhé hře, při hodu dvěma kostkami a 24 pokusech, je celkový počet případů, které mohou nastat:
36 × 36 × … × 36 = 3624 = 22 452 257 707 354 600 000 000 000 000 000 000 000 Počet možností prohry: 35 × 35 × … × 35 = 3524 = 11 419 131 242 070 600 000 000 000 000 000 000 000 Počet možností výhry: 3624 − 3524 = 11 033 126 465 284 000 000 000 000 000 000 000 000
Nyní vidíme, proč byl předpoklad Chevaliera de Mere chybný, neboť počet možností prohry v druhé kostkové hře převyšuje počet možností výhry.
Matematický výpočet pravděpodobnosti výhry
Pravděpodobnost výhry v první kostkové hře vypočítáme jako pravděpodobnost doplňkového jevu k počtu nepříznivých možností: P(A) = 1 − (5/6)4 = 0,517746914, jelikož z čistě matematické hlediska pravděpodobnost dle definice nabývá hodnot z intervalu 0 (jev nemožný) až 1 (jev jistý). V praxi se nicméně častěji setkáme s údajem v procentech. Po vynásobení stem šance na výhru činí po zaokrouhlení 51,77 %, jinými slovy ze 100 her (hodů) by Chevalier de Mere vyhrál přibližně 52 her.
Analogicky pravděpodobnost výhry v druhé kostkové hře pak bude:P(A) = 1 − (35/36)24 = 0,491403876. Šance na výhru nedosahuje ani poloviny(!). Hráč by tedy ze sta pokusů pravděpodobně 51 her prohrál a pouze 49 vyhrál.
Podrobněji se pravděpodobností úspěchu či úspěchů v několika pokusech zabýváme na stránce Binomické rozdělení, kde nejdete vzorce, příklady i vysvětlující komentáře.
Shrnutí
Oba výpočty pravděpodobnosti nás přesvědčí hned o třech věcech:
- pravděpodobnost výhry u obou kostkových her není stejná, druhá hra je pro hráče nevýhodná,
- potvrzují správnost Pascalova řešení,
- celý problém ilustruje a podtrhuje význam znalosti skutečných matematických poměrů u různých hazardních her a jednotlivých sázek.
Chevalier de Mere vycházel z mylného předpokladu, že pravděpodobnost výhry je u obou kostkových her stejná. Nikoliv. Nicméně pokud by se držel pouze první hry a uzavíral rovnou sázku na to, že hodí jednu šestku ve čtyřech pokusech, jeho výhoda by skutečně činila přibližně 1,77 %. Posuďte sami, zdali je to moc, nebo málo, např. výhoda (dlouhodobý zisk) kasina z rulety činí 2,7 % při sázkách na čísla, 1,35 % u rovných sázek.
Mohlo by vás také zajímat
- Problém tří dveří – Monty Hallův problém;
- Dva bíglové – pravděpodobnostní hádanka;
- Působivý pravděpodobnostní důkaz „o božské prozřetelnosti“ z roku 1710 (rození mužů a žen);
- V jaké konstelaci se nejpravděpodobněji narodí 4 děti?
Pravděpodobnostní problém Chevalier de Mera ze 17. století v angličtině.