Kolik potřebuji pokusů, abych s určitou pravděpodobností vyhrál?
Na našem webu jsme většinou řešili případy v duchu: „Jaká je pravděpodobnost, že dvakrát po sobě hodím na kostce šestku nebo vytočím stejné číslo v ruletě?“ Tentokrát zadání otočíme a budeme zjišťovat, kolik potřebuji pokusů (hodů kostkou, roztočení rulety apod.), abych alespoň jednou vyhrál s určitou pravděpodobností, kterou si sám předem stanovím. Správnou úvahu a postup výpočtu si ukážeme na dvou příkladech.
Kolik hodů kostkou, aby padla 6 s pravděpodobností > 0,50 (50 %)
V prvním příkladu budeme házet obyčejnou šestistrannou kostkou. Naším cílem bude hodit šestku. Jaký je minimální počet hodů kostkou, aby pravděpodobnost, že hodíme alespoň jedenkrát šestku byla vyšší než 0,5 (či 50 %, chcete-li), případně než jakákoliv jiná pravděpodobnost, kterou si sami předem stanovíme? Věc nám trochu komplikuje slůvko „alespoň“.
Správná úvaha v tomto typu příkladů je postupovat „odzadu“ a využít toho, čemu se v matematice říká doplněk pravděpodobnosti. Pravděpodobnost, že hodíme šestku v jednom hodu, je jasná: 1/6. Pravděpodobnost, že šestku v jednom hodu nehodíme, je 5/6 (pět možností z šesti prohrává) nebo též 1 – 1/6 = 5/6, tj. doplněk pravděpodobnosti do jedné (součet pravděpodobností se musí rovnat 1).
Dále pravděpodobnost, že hodíme šestku alespoň jedenkrát z deseti hodů, bychom mohli (složitě) počítat tak, že bychom sčítali pravděpodobnosti, že šestku hodíme právě jedenkrát + právě dvakrát až právě desetkrát. Avšak mnohem snazší je následující úvaha: zjistíme, jaká je pravděpodobnost, že šestku z deseti hodů nehodíme vůbec a uděláme doplněk pravděpodobnosti do jedné.
Pravděpodobnost, že nehodíme šestku v jednom hodu, je 5/6, a že se nám to nepodaří 10krát po sobě (5/6)10 = 0,1615 (16,15 %). Jinými slovy pravděpodobnost, že ani jednou nehodíme šestku (z deseti hodů), je 0,1615. Pak pravděpodobnost, že šestku hodíme 1 až 10krát, tj. alespoň jedenkrát, je doplněk do jedné (resp. sta procent), a tedy 1 – 0,1615 = 0,8385 (83,85 %).
Nyní se vraťme zpět k naší původní otázce. Počet pokusů, zde hodů kostkou, se obvykle označuje písmenem n. Je to neznámá, kterou potřebujeme zjistit. Kolikrát musíme hodit kostkou (n = ?), aby pravděpodobnost, že hodíme (aspoň 1krát) šestku, byla vyšší než 50 %?
V duchu výše uvedených poznámek otázku otočíme: „Kolikrát musíme hodit kostkou (n = ?), aby pravděpodobnost, že ani jednou nehodíme šestku byla nižší než 50 %?“ To můžeme matematicky zapsat takto (5/6)n < 0,5 a velmi snadno vyřešit. Neznámou n máme v exponentu, a tak celou nerovnici zlogaritmujeme: n × ln(5/6) < ln(0,5), po úpravě n > ln(0,5) ÷ ln(5/6) a odtud n > 3,8 (potřebuji 4 hody).
Obecný vzorec pro zjištění počtu potřebných pokusů n k dosažení určité události (třeba k výhře) s předem danou pravděpodobností je následující. Označme velkým písmenem P předem požadovanou pravděpodobnost a malým písmenem p pravděpodobnost určité události v jednom pokusu.
Do vzorce si můžete cvičně dosadit čísla z příkladu výše. Ověříme si to také na dalším příkladu, kde se roztočí ruleta. Vzorec lze použít obecně pro jakoukoliv sázku u hry.
Kolikrát musím roztočit ruletu, aby pravděpodobnost uhodnutí 1 čísla byla > 0,9 (90 %)
Začněme tím, co je úplně jasné. Pravděpodobnost (p), že uhodnu 1 číslo v ruletě při jednom roztočení rulety, je 1/37 (čísla 1 až 36 a nula). Požadovanou pravděpodobnost (P) v tomto příkladu jsme si stanovili na 0,9 (či 90 %). Můžeme si ovšem stanovit libovolnou jinou pravděpodobnost, třeba 0,5 (50 %) nebo 0,99 (99 %) atd. Počet pokusů (roztočení rulety) n je neznámý.
Zadání zní: „Kolikrát musíme roztočit malé kolo rulety, aby pravděpodobnost, že vytočíme (uhodneme) určité číslo v ruletě byla vyšší než 0,9 (90 %)?“ Dosadíme do obecného vzorce, který jsme si odvodili výše:
n > ln(1 – 0,9) ÷ ln(1 – 1/37)
n > ln(0,1) ÷ ln(36/37)
n > 84,04
A odpověď zní: „Potřebuji alespoň 85 pokusů, resp. 85 roztočení rulety (anglicky spinů), aby pravděpodobnost, že uhodnu jedno konkrétní číslo, byla vyšší než 90 procent.“
Následující tabulka uvádí minimální počty pokusů pro oba dva příklady a různé požadované pravděpodobnosti.
| Požadovaná pravděpodobnost | Vrhnutí šestky (počet hodů) | Vytočení 1 čísla (počet spinů) |
|---|---|---|
| 50 % | 4 | 26 |
| 60 % | 6 | 34 |
| 70 % | 7 | 44 |
| 80 % | 9 | 59 |
| 90 % | 13 | 85 |
| 95 % | 17 | 110 |
| 99 % | 26 | 169 |
Například potřebuji 26 hodů kostkou, aby pravděpodobnost, že hodím šestku, byla vyšší než 99 %. V ruletě potřebuji 169 zatočení (spinů), aby pravděpodobnost, že uhodnu jedno jediné číslo, byla vyšší než 99 %.
Mohlo by vás také zajímat
- Kombinatorika;
- Variace;
- Permutace;
- Kombinace;
- Problém tří dveří – pozoruhodná pravděpodobnostní hádanka;
- Bezpečnost hesla – za jak dlouho vám jej prolomí;
- Jak spočítat pravděpodobnost, že uspěji několikrát při určitém množství pokusů;
- Jak vydělat v ruletě na nerovnosti kola;
- Články o pravděpodobnosti.