Kombinace
S kombinacemi se na našem webu setkáte na každém kroku, například u číselných loterií. Kombinace jsou velmi užitečný nástroj. Umět si je spočítat a pracovat s nimi je určitě dobrý pocit. Nejde o nic až tak složitého, což se vám budeme snažit dokázat na jednoduchých příkladech, spíše než abychom vás trápili teorií. A když, tak jen trochu.
Úvodem přece jen trocha teorie a pojmů, jenž vám budou jasné z příkladů níže. Kombinací je každá neuspořádaná k-tice sestavená z celkového počtu prvků n. K-tice označuje počet členů, který kombinace má – mohou to být například dvojice, trojice, čtveřice atd. U kombinací je důležitou charakteristikou, že jsou „neuspořádané“ neboli nezáleží u nich na pořadí prvků. Tím se liší od variací, kde na pořadí záleží. Tak jako variace (a jejich speciální forma permutace) mohou být kombinace buď bez opakování nebo s opakováním. Vše si přiblížíme na příkladech.
Máme-li například dva prvky a b a chceme-li z nich sestavovat dvojice, pak ab a ba jsou naprosto rovnocenné dvojice a tvoří jednu kombinaci. Právě proto, že u kombinací nezáleží na pořadí prvků (jsou neuspořádané), tak je jedno, jestli je a na první pozici a b na druhé, nebo naopak.
Můžeme si pomoci příkladem ze hry Oko bere či Black Jack, kde hráči usilují o dosažení nejvyššího součtu 21. Mohou jej docílit například pomocí esa (které má hodnotu 11 bodů) a desítky, přičemž nezáleží na tom, kterou z těchto karet dostanou jako první (= nezáleží na pořadí = nezáleží na uspořádání = jsou neuspořádané) – viz ilustrace.
| a | jsou jednou rovnocennou kombinací. |
Jak jsme zmínili v úvodu, tímto se kombinace liší od variací, kde vždy záleží na pořadí prvků. Příkladem variace by mohl být třeba čtyřmístný PIN nebo jiné heslo. 1124 nebo 1142 jsou dva různé PINy (záleží na pořadí čísel). Navíc, v tomto případě by šlo o variace s opakováním, protože čísla v PINu se mohou opakovat. Bližší vysvětlení a další příklady najdete také na stránce kombinatorika srozumitelně.
Kombinace bez opakování
Kombinace bez opakování je neuspořádaná k-tice sestavená z n prvků, v níž se každý prvek vyskytuje nanejvýš jednou (tj. žádný prvek se neopakuje). Počet kombinací bez opakování určíme podle vzorce:
Výraz 
čteme „en nad ká“ a označujeme jej jako kombinační číslo.
Příklad 1
Mějme tři různé prvky, třeba 1 2 3. Kolika způsoby je možné vybrat jeden prvek, dva prvky a tři prvky z této skupiny, přičemž nezáleží na uspořádání těchto prvků?
Řešení pro 1 prvek: C1(3) = 3! ÷ [1! × (3 – 1)!] = 6 ÷ 2 = 3.
Jeden prvek lze vybrat třemi způsoby:1
2
3
Řešení pro výběr 2 prvků: C2(3) = 3! ÷ [2! × (3 – 2)!] = 6 ÷ 2 = 3.
Dva prvky lze vybrat třemi způsoby:1 2 (nebo 2 1)1 3 (nebo 3 1)2 3 (nebo 3 2)
Řešení pro výběr 3 prvků: C3(3) = 3! ÷ [3! × (3 – 3)!] = 6 ÷ 6 = 1.
Tři prvky lze vybrat jen jedním způsobem:1 2 3 (pořadí prvků lze opět „přeházet“ a stále jde o jednu kombinaci).
Můžeme si všimnout, že ve všech případech se žádný z prvků v žádném řádku neopakuje (kombinace bez opakování). Tento případ je zejména u hazardních her nejčastější. Je třeba si dát pozor například na následující úvahu. V kartách například můžete dostat čtyři esa, to ale neznamená, že se karty opakují. Každé eso má svou barvu (srdce, káry, piky, kříže) a je tedy unikátní, neopakuje se. V pokeru proto nemůžeme dostat dvě esa srdcové, proto jde o kombinace bez opakování.
Příklad 2: Celkový počet karetních kombinací v pokeru
V pokeru se hraje s balíčkem 52 karet: dvojka až eso (13 karet) ve čtyřech barvách. Rozdává se pět karet. Kolik různých karetních kombinací existuje?
Řešení: každá karta je v balíčku zastoupena pouze jednou, proto se jedná o kombinace bez opakování. Kombinační číslo je 52 nad 5 a můžeme dosadit do vzorce:
C5(52) = 52! ÷ [5! × (52 – 5)!] = 2 598 960.
Padesát dva faktoriál je obrovské číslo (asi osm celé něco a 67 nul) a mimochodem toto číslo představuje počet možností, kterými by šlo všechny karty v balíčku seřadit za sebou (jde o permutace bez opakování). Výpočet můžete provést snadno na slušnějším kalkulátoru, například u kalkulátorů Casio bývají kombinace označovány jako nCr (napíšete 52, stisknete tlačítko nCr, zadáte ještě pětku a na displeji se objeví 52C5). Druhým snadným způsobem je použití Excelu a funkce =KOMBINACE(52;5).
Příklad 3: Kolika způsoby lze získat „poker“ (čtyři karty stejné hodnoty)
Zůstaňme ještě u pokeru. Kolika způsoby lze získat třetí nejsilnější kombinaci v pokeru hned po rozdání pěti karet. Tato kombinace čtyř karet stejné hodnoty (například 4 esa) se někdy označuje právě jako „poker“ (kvarta, quad, four of a kind). Tuto pokerovou kombinaci můžeme schematicky znázornit následovně (samozřejmě každá plonkovní i jakákoliv jiná karta může na kterémkoliv místě – u kombinací na pořadí karet nezáleží):
…
Řešení: tuto úlohu bychom mohli vyřešit i jednoduchou úvahou. Abychom získali poker, musíme dostat 4 karty stejné hodnoty a 1 jakoukoliv plonkovní kartu. Existuje celkem 13 způsobů, jak získat čtyři karty stejné hodnoty (2222, 3333, …, AAAA). V balíčku je celkem 52 karet, takže, ať už dostaneme jakýkoliv poker, zůstane v něm ještě 52 – 4 = 48 karet, což je 48 způsobů, jak dostat plonkovní kartu. Počet kombinací, kterými lze získat poker, je proto 13 × 48 = 624. Použili jsme kombinatorické pravidlo součinu. To využijeme, i kdybychom chtěli tuto úvahu „napasovat“ do vzorce pro kombinace bez opakování:
13 × (4 nad 4) × (48 nad 1) = 13 × 1 × 48 = 624.
Tento zápis bychom interpretovat následovně: je třeba vybrat přesně čtyři karty ze čtyřech (proto kombinace 4 nad 4), existuje 13 takových způsobů (proto krát 13), a ke čtyřem kartám je třeba vybrat jednu plonkovní kartu z karet zbývajících v balíčku (proto kombinace 48 nad 1). Všimněte si, že 4 + 48 nad 4 + 1 dává celkový počet všech možných kombinací 52 nad 5.
Pro zajímavost bychom nyní mohli spočítat i pravděpodobnost, že nám na ruce přistane poker hned po rozdání pěti karet. Počet příznivých možností je 624 a počet všech možností je 2 598 960. Pravděpodobnost, že získáme čtyři karty stejné hodnoty (poker) hned po rozdání je pak:
624 ÷ 2 598 960 = 0,000240096 neboli 1 z 4165.
Jestliže tento poměr otočíme, získáme férový sázkový kurz 4165 ku jedné. Výsledek můžeme interpretovat tak, že čtyři karty stejné hodnoty v průměru dostaneme tak jednou za čtyři tisíce her.
Příklad 3: Celkový počet kombinací ve Sportce a Šťastných 10
Na našem webu jsme hodnotili celou řadu loterií. U mnohých z nich často existuje až astronomické množství možností, které mohou nastat. Proto je tak těžké v loteriích vyhrát.
Ve Sportce se losuje 6 čísel ze 49. Počet všech kombinací je tedy 49 nad 6. Mohli bychom opět dosadit do vzorce. Jednodušší je použít Excel:
=KOMBINACE(49;6) s výsledkem 13 983 816.
Odpověď: ve Sportce existuje téměř 14 milionů možných kombinací. A můžeme doplnit, že pravděpodobnost, že uhodneme jednu jedinou kombinaci šesti losovaných čísel v jednom tahu je 1 ku 14 milionům, ale jelikož se losují dva tahy, tak se pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve Sportce zvyšuje na 1 ku asi 7 milionům.
U Šťastných deseti se losuje dokonce 20 výherních čísel z 80 celkových:
=KOMBINACE(80;20) s výsledkem 3 535 316 142 212 180 000.
Odpověď: Počet možných kombinací u hry Šťastných 10 dosahuje astronomických 3,5 trilionů → názvy velkých čísel.
→ V které loterii je největší počet kombinacíí? (žebříček)
Kombinace s opakováním
U kombinací s opakováním se každý prvek v neuspořádané k-tici vyskytuje nejvýše k-krát, to znamená, že prvky se mohou opakovat až k-krát. Počet kombinací s opakováním určíme podle vztahu:
Příklad 4
Mějme následující tři prvky 1 2 3. Kolik dvojčlenných kombinací s opakováním můžeme vytvořit?
Řešení: C'2(3) = (3 + 2 – 1) nad 2 = 4 nad 2 = 6.
Ze tří prvků je možné vytvořit 6 různých dvojčlenných kombinací za předpokladu, že se prvky mohou opakovat:1 1
1 2
1 3
2 2
2 3
3 3
Příklad 5
V předchozím příkladu jsme měli celkem tři prvky (n = 3) a vybírali jsme dvojčlenné kombinace (k = 2). Pro k-členné kombinace z n prvků bez opakování vždy platí, že k <= n. U kombinací s opakováním z n prvků může nastat i opačná situace. Můžeme například tvořit trojice (k = 3) ze dvou prvků (n = 2), tedy k > n.
Kolik tříčlenných kombinací s opakováním lze vytvořit ze dvou prvků 1 a 2? (k = 3, n = 2)
Řešení: C'3(2) = (2 + 3 – 1) nad 3 = 4 nad 3 = 4.
Ze dvou prvků (1 a 2) lze vytvořit čtyři různé neuspořádané trojice (trojčlenné kombinace) za předpokladu, že prvky se mohou opakovat:1 1 1
1 1 2
1 2 2
2 2 2