Očekávaná hodnota u hazardních her v příkladech

Očekávaná hodnota (Expected Value – EV) nalézá široké uplatnění při hraní hazardních her, ale i v běžném životě. Umožňuje optimalizovat výsledek nebo řekněme šanci na výhru v podmínkách rizika. Pomocí očekávané hodnoty můžeme univerzálním způsobem určit výhodu kasina (zisk) z kterékoliv sázky v jakékoliv hře, ale také maximalizovat šanci na výhru v pokeru.

Se slůvkem „očekávaná“ můžeme spojit další slova znamenající totéž ve smyslu matematického výpočtu: očekávaný výsledek sázky (expected outcome), očekávaný výnos (expected return) apod. Nutno zdůraznit, že očekávaná hodnota se vztahuje k dlouhému období, resp. k velkému počtu pokusů. Čím více náhodných pokusů – za kterými si můžeme představit například počet odehraných spinů v Ruletě, počet hodů kostkami v Craps nebo počet odehraných her v Pokeru – tím více se výsledky budou přibližovat očekávané hodnotě.

Ačkoliv výpočet očekávané hodnoty v sobě obsahuje matematicko-statistický aparát, jeho princip je poměrně jednoduchý (o to však silnější a krásnější) a postup zvládnutelný, což si budeme jasně demonstrovat na příkladech.

V úvodu jsme zmínili riziko, pro úplnost doplníme jeho definici. Riziko je možnost odchylky od očekávaného stavu (výsledku, hodnoty). U rizika, na rozdíl od nejistoty, můžeme pracovat s pravděpodobností (víme, s jakou pravděpodobností sázku prohrajeme, s jakou pravděpodobností řidič určitého profilu nabourá apod.). Statisticky lze riziko spočítat pomocí rozptylu (hodnot od střední očekávané hodnoty).

Nejistota znamená, že nevíme, co se stane (budoucnost je nejistá) a neznáme nebo nejsme schopni určit pravděpodobnosti stavů. Ještě trocha teorie k očekávané hodnotě a můžeme se pustit do názorných příkladů.

• Příklad na využití očekávané hodnoty (očekávaného výnosu) a rizika při podnikání;
• Využití očekávaného výnosu a riziku při investování – sestavení portfolia.

Co je očekávaná hodnota

Očekávaná hodnota je váženým průměrem všech možných výsledků, tedy výher i proher, zisků i ztrát. Váhami jsou pravděpodobnosti, s kterými mohou výsledky nastat. Očekávaná hodnota představuje střední odhad budoucího výsledku, nikoliv nejpravděpodobnější výsledek. Obecný vzorec očekávané hodnoty E(x) je následující:

E(x) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn.

kde E(x) je očekávaná hodnota (poznámka: místo E(x) používáme na našem webu i anglickou zkratku EV), x₁ až x_n jsou možné výsledky a p₁ až p_n jim odpovídající pravděpodobnosti, že výsledky nastanou.

Očekávaná hodnota může nabývat kladných i záporných hodnot. Racionálně jednající člověk bude přijímat taková rozhodnutí, kde je očekávaný výsledek kladný (zisk) a bude se vyhýbat rozhodnutím, která vedou k zápornému výsledku (ztrátě). Lze připustit i negativní výsledek, pokud není zbytí a ze špatných variant vybereme tu s nejnižší očekávanou ztrátou. Tato strategie se uplatňuje především u pokeru a je klíčem k dlouhodobému úspěchu.

U hazardních her, kde výsledek závisí pouze na náhodě, je očekávaný výsledek (téměř) vždy v neprospěch hráče – je to logické, ten tvoří výhodu a dlouhodobý zisk kasina. Snad jedinou výjimkou je kasinová karetní hra Black Jack, kde při nejlepší možné strategii může hráč obrátit výhodu ve svůj prospěch.

• Americký herec Ben Affleck byl za počítání karet při Black Jacku vykázán z kasina.

Výhoda kasina (dlouhodobý zisk) na základě očekávané hodnoty

Výhoda kasina pramení z výplatního poměru (vypláceného v případě výhry), který je nižší, než který by odpovídal matematicky vypočtenému „férovému“ výplatnímu poměru, při kterém by byl dlouhodobý zisk kasina nulový, tj. v situaci, kdy očekávaná hodnota je rovna nule: E(x) = 0.

V následujících příkladech budeme vždy předpokládat, že vsadíme 1 jednotku (1 žeton, 1 Kč, 1 dolar apod.). Výsledkem sázky je výhra, nebo prohra. Výhra je vyplácena ve výši výplatního poměru (= výplatní poměr krát 1 vsazená jednotka), prohrát můžeme vždy pouze 1 vsazenou jednotku. Pravděpodobnosti výhry a prohry jsme schopni stanovit, proto označíme:

x₁ = první možný výsledek sázky = prohra 1 vsazené jednotky,
p₁ = pravděpodobnost prohry (a tudíž ztráty 1 vsazené jednotky),
x₂ = druhý možný výsledek sázky = výhra ve výši výplatního poměru stanoveného kasinem,
p₂ = pravděpodobnost výhry (a tudíž výhry 1 jednotky vynásobené výplatním poměrem).

Příklad: Výpočet očekávané hodnoty při sázce na 1 číslo v ruletě

Pro připomenutí: ve francouzské ruletě je 18 červených, 18 černých čísel a nula, tj. celkem 37 čísel. V americké ruletě existuje navíc dvojitá nula, celkový počet čísel je tedy 38. Označme:

x1 = -1 (tj. prohra 1 vsazené jednotky),
p1 = 36/37 (pravděpodobnost prohry: 36 čísel z 37 prohrává),
x2 = 35 (výplatní poměr, v případě výhry vyhrajeme 35 jednotek),
p2 = 1/37 (pravděpodobnost výhry: vyhrává pouze 1 číslo z celkových 37 čísel).

E(x) = x1p1 + x2p2 = (–1) × (36/37) + 35 × (1/37) = –0,0270 = –2,7 %.

Nevýhoda hráče (záporná očekávaná hodnota) = výhoda kasina. Kasino má při této sázce nad hráčem výhodu 2,7 %. Tato výše představuje dlouhodobý zisk kasina 2,7 % z „protočených“ peněz při sázkách na 1 číslo. Výše uvedený výpočet platí pro francouzskou ruletu.

Nyní se podívejme, jaká bude očekávaná hodnota (opět ztráta hráče) v americké ruletě, kde je navíc dvojitá nula (tedy „pouze“ jedno číslo navíc), ale výplatní poměr je stejný 35:1. Nyní 37 čísel z 38 prohrává 1 vsazenou jednotku a jenom 1 z 38 čísel vyhrává výplatní poměr, tj. 35 jednotek.

E(x) = (–1) × (37/38) + 35 × (1/38) = –0,0526 = –5,26 %.

Výhoda kasina v americké ruletě při sázce na 1 číslo je téměř 2x větší než u francouzské rulety(!) Chcete-li si zahrát ruletu a máte-li na výběr mezi francouzskou a americkou ruletou, kterou si vyberete?

Příklad: Očekávaný výsledek rovné sázky v ruletě

Rovná sázka je taková sázka, při které je výplatní poměr 1:1. Vsadíte-li např. 100 Kč, vyhrajete 100 Kč (plus samozřejmě dostanete zpět svůj vklad 100 Kč). V ruletě je takto možné vsadit na červená/černá, sudá/lichá, vysoká/nízká čísla. Následující výpočet platí pro francouzskou ruletu. Pokud vsadíte například na sudá čísla, tak vyhrává 18 sudých čísel (jednu jednotku, výplatní poměr je 1:1) a prohrává 19 čísel (18 lichých čísel a nula).

E(x) = (–1) × (19/37) + 1 × (18/37) = –0,0270 = –2,7 %.

Jelikož však některá kasina umožňují při padnutí nuly si vzít polovinu sázky zpět (případně ji automaticky vracejí), je očekávaná hodnota (ztráta hráče = výhoda kasina) pouze poloviční, tedy –1,35 %. Analogicky lze spočítat výhodu kasina v americké ruletě, která opět činí 5,26 % (rozuměj: očekávaná hodnota je –5,26 %), s tím rozdílem a právě proto, že při padnutí nuly nebo dvojité nuly rovné sázky okamžitě prohrávají).

Příklad: Skořápky

Kdo by neznal Skořápky. „Skořápkář“ vloží kuličku pod jednu ze tří skořápek, které obratně míchá. Úkolem hráče je uhodnout, pod kterou skořápkou se kulička skrývá a v případě výhry je mu vyplacena rovná sázka (1:1). Jaká je výhoda skořápkáře v případě, že nepodvádí? Určíme očekávaný výsledek sázky pro hráče:

E(x) = (–1) × (2/3) + 1 × (1/3) = –(1/3) = –0,3333 = –33,33 %.

To je velmi vysoká výhoda, navíc představa, že zručný skořápkář nepodvádí, je pravděpodobně nereálná. Hezky a velmi vtipně to zachycuje například český film U mě dobrý.

• Velké množství příkladů, ale i praktických informací, naleznete u loterijních her.

Očekávaná hodnota v pokeru

Očekávaná hodnota v pokeru funguje na stejném principu jako ve výše popsaných příkladech. Jeden rozdíl je však podstatný – v pokeru můžete svými rozhodnutími ovlivnit, zdali budete dlouhodobě vyhrávat, či prohrávat.

Dobří hráči přijímají taková rozhodnutí, kdy je jejich očekávaná hodnota maximální, ideálně kladná. V každé situaci si můžete spočítat, zdali se vám vyplatí sázet: záleží na tom, na kolik a za kolik můžete zlepšit svou původní kombinaci karet. Tento způsob hry je známý také jako poměr k banku (money to pot ratio), popsán je také na stránce o pětikaretním stud pokeru. Je to aplikace očekávané hodnoty.

Kladné očekávané hodnoty dosáhnete, když můžete zlepšit svou karetní kombinaci (s kterou velmi pravděpodobně vyhrajete bank) za poměrně málo peněz (musíte dorovnat sázku) – taková rozhodnutí se v dlouhodobém měřítku vyplatí.

Očekávaná hodnota bude naopak záporná, pokud je šance na zlepšení karetní kombinace (a výhru banku) nízká, resp. poměrně nižší, než počet peněz, které musíte vložit do banku. To je špatné rozhodnutí, které dělají špatní hráči – nepřiměřeně riskují, spoléhají se na náhodu. V krátkém období to může vést k úspěchu, náhodně můžete porazit i profesionálního hráče.

V dlouhém horizontu se však výsledky blíží očekávané hodnotě a dlouhodobě úspěšní mohou být pouze ti hráči, kteří využívají optimálně pravidla očekávané hodnoty. Toto téma je podrobně i s příklady popsáno na stránce Variance v pokeru a $ EV Adjusted. Variance měří možné krátkodobé odchylky.

Mohlo by vás také zajímat

• Žebříček her podle výhody kasina a návratnosti pro hráče;
• Příklad na varianci – statistický rozptyl (obecný a podrobně komentovaný);
• Výpočet variance v pokeru;
• Výhoda sázkové kanceláře (marže) u kurzových sázek;
• Všechny články o pravděpodobnosti.

Očekávaná hodnota v angličtině.