Házení mincí

Přestože i házení mincí by mohlo být předmětem sázek (ukážeme si jak), spíše se používá jako prvek náhody pro různé rozhodovací situace, například kdo bude rozehrávat míč ve fotbale nebo kdo vystojí řadu na další piva při společenské akci. Složitější sázky než jen na výsledek jednoho hodu, pravděpodobnost.

Mince má pouze dvě strany – hlava (či panna) a orel, rub a líc. Proto výsledkem hodu mincí jsou pouze dvě možnosti.  Z pohledu hráčů jsou výsledky házení mincí protichůdné, neboť výhra jednoho hráče je prohrou hráče druhého. Oba hráči však mají stejnou šanci uspět: lidově řečeno, jejich šance jsou 50 na 50.

Pravděpodobnost, že padne jedna strana mince, je ½ = 0,5. Vyjádřeno v procentech je to 50 % a ve formě sázkového kurzu je to 1 ku 2.

Pokud by se dva hráči sázeli o stejnou sumu peněz, řekněme o 10 Kč, pak z dlouhodobého pohledu by šlo o tzv. férovou sázku. Oba hráči by s pravděpodobností 0,5 mohli vyhrát 10 Kč a s pravděpodobností 0,5 prohrát 10 Kč. Tak zvaná očekávaná hodnota sázky by byla nulová: 0,5 × 10 Kč + 0,5 × (-10 Kč) = 0.

Obrázek 1: Mince padající na trávu (source: Craiyon)

Pravděpodobnost při házení mincí z různých pohledů

Nyní se můžeme podívat na to, jaká je pravděpodobnost, že stejná strana mince padne několikrát po sobě nebo například, že z 10 hodů mincí padne orel právě 5krát, alespoň 8krát atd.

V tomto ohledu by házení mincí mohlo být i předmětem návrhu na uzavření určité sázky s určitým výplatním poměrem, návrhem, který učiní jeden hráč jinému hráči. Ten, kdo sázku přijímá (vlastně i ten, kdo ji navrhuje), by si měl umět spočítat, zda je pro něj výhodná, či nikoliv.

Pravděpodobnost, že stejná strana mince padne několikrát po sobě

Pravděpodobnost, že se nám podaří hodit jednu stranu mince, je 0,5. Pravděpodobnost, že se nám podaří hodit stejnou stranu mince 2krát po sobě, je 0,5 × 0,5, třikrát po sobě 0,5 × 0,5 × 0,5 atd., obecně tedy 0,5 umocněno na počet úspěšných hodů mincí. Vidíme například, že hodit stejnou stranu mince 10krát po sobě, by se nám povedlo zřejmě jenom jednou z asi tisíce pokusů (přesněji z 1024 pokusů): pravděpodobnost takové události je 0,510 = 0,0009765625, tj. ve formě kurzu 1 ÷ 0,0009765625 = 1024.

Pravděpodobnost, že stejná strana mince padne několikrát z určitého počtu pokusů

Mohlo by nás také zajímat, jaká je pravděpodobnost, že určitá strana mince padne právě tolikrát nebo alespoň tolikrát z určitého počtu pokusů. Obecně k-krát z n pokusů (k <= n).

Například v následujících dvou tabulkách jsou výpočty pro 10 hodů mincí (n = 10). Obě tabulky vyjadřují totéž, avšak ta níže vyjadřuje pravděpodobnost ve formátu 1 ku … Pak si můžeme spočítat pravděpodobnost, že určitá strana mince nepadne vůbec (k = 0), padne právě 1krát (k = 1) až právě 10krát (k = 10).

Zajímá-li vás postup či chcete-li si vše spočítat sami, můžete použít následující vzorec, kterému se říká Bernoulliho schéma. Pod odkazem naleznete další podrobnosti a vysvětlující příklady.

Dodejme jen ve stručnosti, že je tzv. kombinační číslo, p je pravděpodobnost úspěchu, (1 – p) je pravděpodobnost neúspěchu.

Podívejme se ještě na rozdíl mezi právě a alespoň. Například, jaká je pravděpodobnost, že z 10 hodů mincí padne orel právě 5krát nebo alespoň 5krát. Právě znamená, že orel musí padnout přesně 5krát (ani méněkrát, ani vícekrát), zatímco alespoň znamená, že padne 5krát nebo vícekrát – vypočteme jednoduše tak, že sečteme pravděpodobnosti, že orel padne právě 5krát + právě 6krát + … + právě 10krát.

V následující tabulce jsou pravděpodobnosti převedeny do formátu 1 ku … (sázkový kurz), což je zřejmě přehlednější než ryze matematický desetinný zápis (pravděpodobnost z definice nabývá hodnot 0 až 1, kde 0 je jev nemožný a 1 je jev jistý).

Můžeme si všimnout, jak je pravděpodobnost při házení mincí symetrická kolem nejpravděpodobnější hodnoty. Budeme-li házet mincí 10krát, pak nejpravděpodobněji padne jedna strana mince 5krát: 0,2461 či 1 ku 4,06. Pravděpodobnost, že tato strana mince padne 4krát nebo 6krát, shodná: 0,2051 či 1 ku 4,88. Podobně je shodná pravděpodobnost, že stejná strana mince padne 3krát nebo 7krát atd. Je to proto, že pravděpodobnost úspěchu a neúspěchu je 0,5:0,5.

Poznámka k sázkovému kurzu: jelikož je kurz převrácená hodnota pravděpodobnosti, pak platí, že čím vyšší kurz, tím nižší pravděpodobnost, a naopak.

Návrh na uzavření sázky – příklad s házením mincí

Představte si, že by vás někdo oslovil s následující nabídkou na uzavření sázky. „Budu házet mincí. Pokud hodím stejnou stranu mince, kterou si na začátku vyberu (třeba orla), alespoň 8krát z 10 hodů, zaplatíš mi 20 Kč. Pokud se mi to nepovede, zaplatím ti 1 Kč za každý neúspěšný pokus, tj. padne-li orel pouze 7krát nebo méněkrát z 10 pokusů.“ Přijali byste takovou sázku? Případně ještě přesnější dotaz by mohl znít, zda byste byli ochotni takovou sázku přijímat dlouhodobě?

Sázky by mohly být i vyšší, ale ve stejném poměru, například 2 000 Kč ku 100 Kč. Možná byste si řekli, že hodit stejnou stranu mince 8krát (a vícekrát) z 10 hodů se soupeři jen tak nepovede, a že budete sledovat, jak se lopotí a nechali si vyplácet 100 Kč za každý neúspěšný pokus (který tvoří 10 hodů). To byste se ale přepočítali.

Chybí jedna maličkost, což je pravděpodobnost výhry a prohry. Obecně by nás mělo zajímat, co můžeme vyhrát a s jakou pravděpodobností a co můžete prohrát a s jakou pravděpodobností. Tomuto postupu se říká očekávaná hodnota (často se používá anglická zkratka EV – Expected Value). Je to určitý průměrný výsledek – vážený průměr, kde váhami jsou pravděpodobnosti.

Pohledem do tabulky 2 zjistíme, že pravděpodobnost, že se někomu podaří hodit stejnou stranu mince alespoň 8krát, je 0,0546875 (či asi 5,47 %, chcete-li). Pravděpodobnost, že se to nepovede, je 1 – 0,0546875 = 0,9453125 (či asi 94,53 %). Pak ten, kdo sázku přijme, může s pravděpodobností 0,0546875 ztratit 20 Kč a s pravděpodobností 0,9453125 vyhrát 1 Kč:

EV = 0,0546875 × (-20 Kč) + 0,9453125 × 1 Kč = -0,1484375 Kč.

To znamená, že hráč, který by sázku přijal, by při dlouhodobém sázení (tj. při velkém počtu pokusů, resp. hodů mincí) ztratil skoro 15 haléřů z každé vsazené koruny, přesněji 14,84 haléřů. Tedy nevýhoda tohoto hráče by byla asi 14,84 % a toto číslo by současně bylo výhodou toho, kdo sázku navrhl. Dlouhodobě přijímat takovou sázku by bylo značně nevýhodné. Můžete porovnat s ostatními kasinovými, či obecně hazardními, hrami – žebříček podle (ne)výhodnosti pro hráče.

Celý příklad, resp. vyhodnocení sázky, by šlo řešit ještě jinak, snad jednodušeji a rychleji, protože již všechny výpočty máme k dispozici. Pravděpodobnost, že se někomu podaří hodit stejnou stranu mince alespoň 8krát z 10 hodů, je 0,0546875. Převedeno na kurz jde o 1 ÷ 0,0546875 = 1 ku asi 18 (viz tabulka 3, číslo má více desetinných míst, která nejsou zobrazena).

To můžeme interpretovat tak, že hodit orla či hlavu alespoň 8krát z 10 hodů se povede asi 1krát z 18 pokusů. To je současně férový poměr, při kterém by žádný z hráčů nedosahoval zisku (ani ztráty). Pak je jasné, že jste-li ochoten zaplatit 20 Kč, namísto 18 Kč, dostáváte se do nevýhody. Platí to ale i naopak. Pokud byste přesvědčil druhého hráče, že mu zaplatíte za každý úspěšný pokus méně než 18 Kč, dlouhodobá výhoda by přešla na vaši stranu.

Mohlo by vás také zajímat

• Jak hrát šachy o peníze;
• Kámen, nůžky, papír – strategie podle čínské studie;
• Pouliční Skořápky – kdysi česká specialita;
• Netypické sázky: broučí zápasy v Asii;
• Vysvětlující příklad na varianci (rozptyl) v pokeru na základě 2 her s mincemi;
• Základy statistiky – (snad) lidským způsobem.