Průměrný roční (anualizovaný) výnos
Jak spočítat průměrný roční, též „anualizovaný“, výnos z hraní pokeru nebo jakékoliv investice? – Princip zůstává stejný. Článek je současně příkladem i na aritmetický a geometrický průměr, resp. ukazuje, kdy je vhodné, neřkuli nutné, použít geometrický průměr namísto mnohem běžnějšího průměru aritmetického.
Výpočet průměrného ročního výnosu má obecnou platnost, můžeme jej použít pro jakoukoliv investici, například do akcií, ale protože jsme web, který se věnuje především hraní, začněme tematicky s pokerem. Na jednoduchém příkladu si ukážeme, na co je třeba dávat pozor při použití průměru. Pak si uvedeme i příklad, který se věnuje průměrnému ročnímu (nebo též „anualizovanému“ – z latinského annum = rok) výnosu investice.
Průměrný roční výnos pokerového hráče
Představme si hráče, který začne hrát poker s určitou sumou (té se v pokeru mimochodem říká bankroll a jejímu řízení bankroll management). Dařilo se mu a po prvním roce hraní vydělal 100 % (jinými slovy, jeho konto se rozrostlo o 100 %), avšak v dalším roce však ztratil 50 % (z celého konta; aktuální stav konta se snížil o 50 %).
Jednoduchými počty zjistíme, že hráč je na svém, resp. na částce, s kterou poprvé začínal hrát. Je třeba myslet na to, že ztráta 50 % v druhém roce se počítá ze zvýšeného základu 200 % (částka, s kterou začínal je 100 % a po prvním roce ji rozšířil o dalších 100 % = 200 %) a 50 % z 200 % je 100 %.
Pokud se vám z toho trochu zamotává hlava, je jednodušší počítat v dolarech (to je měna, v které se poker obvykle hraje). Hráč začne hrát se sto dolary ($100), v prvním roce vydělá 100 %, tj. dalších sto dolarů ($100), a má tedy celkem dvě stě dolarů ($200). V druhém roce přijde o 50 % svých prostředků (tj. 50 % z $200 = $100), a je tak na svých 100 dolarech ($200 - $100 = $100), s kterými začínal.
Proto při výpočtu hráčova průměrného výnosu nemůžeme uvažovat takto:
1. rok výnos 100 %,
2. rok výnos -50%.
Kdybychom totiž spočítali hráčův průměrný výnos pomocí běžného aritmetického průměru, dostali bychom se k výsledku (100 % - 50 %) ÷ 2 = 25 %, což je ovšem nesmysl.
Ke správnému výsledku – nulovému průměrnému ročnímu výnosu – se dostaneme pomocí geometrického průměru, který je stavěn právě na přírůstkové veličiny. Průměrný výnos spočítáme tak, že všechny dílčí hodnoty (přírůstky) mezi sebou vynásobíme (provedeme jejich součin) a z výsledného čísla provedeme n-tou odmocninu, kde n je počet hodnot.
Jelikož pod odmocninou nemůže být záporné číslo, záporné přírůstky (či úbytky, ztráty) vyjádříme takto: například stav konta poklesne o 10 % (0,10), tedy jsme na 90 procentech předchozího období (0,90). V našem příkladu konto hráče vzrostlo o 100 % na 200 % (2,00) a pak kleslo o 50 % na 50 % (0,50).
Průměrný roční výnos hráče je druhá odmocnina z (2 × 0,5) = 1 (100 %) a odečteme-li jedničku (či 100 %) jakožto výchozí stav, dostaneme se ke správnému výsledku nula (0 %). Průměrný roční výnos je nulový, stav konta se nezměnil (resp. změnil, ale je zpět na výchozí úrovni).
Průměrný anualizovaný výnos investice – příklad
V předchozím příkladu jsme upozornili na úskalí spojená s použitím běžného aritmetického průměru. V následujícím příkladu již nebude žádná „zrada“ v logické úvaze, ani velký rozdíl mezi průměrným výnosem investice, měřeným aritmetickým a geometrickým průměrem.
Tabulka níže uvádí procentuální roční výnosy širšího amerického indexu S&P500 v letech 2003 až 2013 (pozor, jde o 11 období), ten je výsledkem pohybu cen akcií pěti set nejvýznamnějších amerických společností. Ve výnosech jsou započteny i dividendy.
Můžeme si všimnout třeba roku 2008, v němž naplno udeřila finanční a hospodářská krize, a kdy index S&P500 pokles o 37,22 procenta (ve skutečnosti šlo o mnohem větší propad, neboť akcie předtím pět let rostly, tj. zvýšil se základ, z kterého se „padalo“). Naopak cena zlata odstartovala do výšin.
Procentuální výnosy je nejprve třeba převést do formy přírůstků (viz stejnojmenný sloupec). Například propad v roce 2008 o 37,22 % je propad na 100 % - 37,22 % = 62,78 % (či 0,6278). Pro výpočet anualizovaného výnosu investice pomocí geometrického průměru potřebujeme všechny hodnoty převést na nezáporné.
| P. č. roku | Rok | Výnos (%) | Přírůstek |
|---|---|---|---|
| 11 | 2013 | 32,42 | 1,3242 |
| 10 | 2012 | 15,88 | 1,1588 |
| 9 | 2011 | 2,07 | 1,0207 |
| 8 | 2010 | 14,87 | 1,1487 |
| 7 | 2009 | 27,11 | 1,2711 |
| 6 | 2008 | -37,22 | 0,6278 |
| 5 | 2007 | 5,46 | 1,0546 |
| 4 | 2006 | 15,74 | 1,1574 |
| 3 | 2005 | 4,79 | 1,0479 |
| 2 | 2004 | 10,82 | 1,1082 |
| 1 | 2003 | 28,72 | 1,2872 |
| Součin | x | x | 2,619528 |
| Geometrický průměr = Součin^(1/11) | 1,091491 | ||
| Průměrný roční (anualizovaný) výnos = (Geom. průměr - 1) × 100 % | 9,15 % | ||
Zdroj dat: Výnos (%) – moneychimp.com [cit. 2014-02-12], výpočty a zpracování vlastní
Jednotlivé přírůstky mezi sebou vynásobíme, například v Excelu pomocí funkce =SOUČIN() a z výsledného součinu provedeme jedenáctou odmocninu, nebo, což je stejné, součin umocníme na jednu jedenáctinu (1/11) – v Excelu se mocnina zapisuje jako ^ („stříška“), a získáme geometrický průměr. Excel má samozřejmě i funkci =GEOMEAN(), která jej spočítá přímo (do závorek doplníme oblast buněk).
Nakonec od geometrického průměru odečteme jedničku (či 100 % jakožto výchozí stav) a zjistíme tak – jakoby konstantní – roční tempo růstu, jinými slovy hledaný anualizovaný průměrný výnos, který v tomto příkladu vychází na 9,15 %. Americké akcie obsažené v indexu S&P500 rostly průměrným ročním tempem 9,15 procenta.
Pokud bychom spočítali obyčejný aritmetický průměr z hodnot ve sloupci Výnos (%), dostali bychom se na hodnotu 10,97 %. To dokazuje vlastnost geometrického průměru, a sice, že je vždy menší než aritmetický průměr. Geometrický průměr je pro zjištění průměrného ročního výnosu investice přesnější, a proto spousta investorů může vydělávat méně, než si myslí.
Mohlo by vás také zajímat
- Průměrný hodinový výdělek – jak se spočítá pomocí koeficientu (zákoník práce);
- Akcie – co jsou a jak na ně lze nahlížet;
- Dividenda – co je, jak se rozdělují dividendy;
- Investice do fyzického zlata a zlatých společností;
- Dluhopisy – podrobný průvodce – co jsou, výnosy, rizika;
- Kryptoměny – vše, co o nich potřebujete vědět;
- Bitcoin – komplexní průvodce přední kryptoměnou;
- Jak spočítat očekávaný výnos a riziko při investování;
- Zdanění dividendy společnosti Telefonica za rok 2013 (17.01.2014);
- Sázka na zlato – o penězích, zlatu a jeho perspektivě (16.07.2013).