Hazardní-Hry.eu
Hazardní hry › Loterie › Powerball

Powerball – americká loterie

Powerball je číselná loterie provozovaná na území USA. Ve středu 28.11.2012 padl obří jackpot 587,5 milionu dolarů, který si nakonec rozdělili pouzí dva sázející. Šance na výhru první ceny je asi jen jedna ze 175 milionů. Slíbili jsme, že se na hru podrobněji podíváme.

Jak se hraje

V loterii Powerball se losuje pět (5) bílých míčků z devětapadesáti (59) a jeden (1) červený míček z pětatřiceti (35), tzv. powerball. Existuje celkem devět výherních pořadí podle toho, kolik čísel z pěti losovaných se sázejícímu podaří uhodnout správně a také, trefí-li powerball, tj. tipne-li správně jedno jediné losované číslo z 35. Tím hra trochu připomíná tuzemské Loto či Superloto, kde se ale namísto powerballu losuje barva.

První cenu tvoří jackpot, jehož minimální výše je 40 milionů dolarů (údaj k 30.11.2012). Aby sázející vyhrál jackpot, musí uhodnout 5 čísel z 5 losovaných (z celkových 59 čísel) a powerball (1 číslo z 35). Další ceny jsou pevně dány, například v druhém pořadí je výhra 1 milion dolarů. Pokud sázející uhodne alespoň powerball, neodchází s prázdnou. Cena tiketu je 2 dolary. Losuje se ve středu a v sobotu.

Pravděpodobnost výhry (a prohry)

Tabulka 1 uvádí všechny podstatné charakteristiky loterijní hry Powerball, včetně pravděpodobností výhry jednoho z devíti pořadí. Ve sloupci „Uhodnuto“ je uvedeno, kolik čísel (0 až 5) z pěti losovaných (z 59 celkových čísel v osudí) je třeba uhodnout pro získání daného pořadí. A stejně tak je pro pořadí důležitý sloupec „Powerball“, kde „ano“ značí, že se podařilo tipnout 1 číslo z 35.

Jak víme, až na první cenu jsou výhry pevně dané. Minimální garantovaná hodnota jackpotu je 40 milionů dolarů. Do výpočetní tabulky jsme uvedli průměrnou výši jackpotu $255 000 000, kterou na svých stránkách uvádí provozovatel hry. Výše výher nemá vliv na pravděpodobnost výhry, ale později si ukážeme, že (proměnlivá) velikost jackpotu může značně zahýbat s očekávanou hodnotou (sloupec EV – Expected Value), která určuje dlouhodobou výhodu (marži) sázkové kanceláře.

Sloupce „Čistá výhra“ a „…jako násobek“ jsou pomocné pro výpočet očekávané hodnoty. Čistou výhru zjistíme jednoduše tak, že od výhry stanovené provozovatelem hry odečteme vklad do hry 2 dolary. Čistou výhru ještě převedeme na násobek, a to tak, že ji vydělíme vkladem do hry 2 dolary. To se nám bude hodit, protože zjistíme očekávanou hodnotu (ztrátu) sázejícího v dlouhém období z každého dolaru vsazeného do hry. Pokud ji odečteme od sta procent, získáme návratnost hráče.

Tabulka 1: Výherní pořadí, pravděpodobnosti výhry a prohry v loterii Powerball (USA)

Powerball – pravděpodobnost výhry, očekávaná hodnota

Zdroj: pořadí, výhry viz stránky www.powerball.com/powerball/pb_prizes.asp (cit. 2012-11-30), zpracování a výpočty vlastní

Pravděpodobnost výhry první ceny v loterii Powerball je velmi nízká. I když u nás se najdou loterie, kde je šance na výhru ještě nižší. Jak pravděpodobnost zisku prvního pořadí vypočítáme? Klasicky nás bude zajímat, kolik celkových kombinací můžeme vytvořit. Pomůžeme si Excelem a zadáme funkci: =KOMBINACE(59;5)*KOMBINACE(35;1). Zajímá nás tedy, kolik pětic z 59 čísel můžeme utvořit, ale víme také, že se losuje ještě 1 číslo z 35. Vzorec by se dal zjednodušit tak, že jeho první část vynásobíme 35. Výsledná hodnota je 175 223 510 celkových kombinací. Avšak pouze jedna kombinace pěti čísel z pěti (při 59 číslech v osudí) a jednoho čísla z jednoho (při 35 číslech v osudí) je vyhrávající, řekneme-li to trochu otrocky. Pravděpodobnost výhry první ceny v americké loterii Powerball je pak:

1 ÷ 175 223 510 = 0,00000000570699673805187, jiným slovy 1 z 175 223 510.

Číslo 175 223 510 má přitom stejný význam jako (férový) sázkový kurz používaný u sportovních sázek. Takto vysoký kurz by nám musela sázková kancelář na takto málo pravděpodobnou událost (zisk první ceny) vypsat. Ve skutečnosti by vypsala kurz nižší, aby měla nějakou výhodu (marži).

Tabulka 1 uvádí i pravděpodobnosti zisku nižších cen. Pokud všechny dílčí pravděpodobnosti výhry sečteme, získáme pravděpodobnost, že vyhrajeme alespoň něco, přesně 0,03140069503 či zhruba 3,14 %. Tuto pravděpodobnost také můžeme převést na „1 z …“ (sázkový kurz): 1 ÷ 0,03140069503 = 1 z 31,85. Součet pravděpodobností musí dát 1 (či 100 %). Pravděpodobnost prohry je pak zhruba 0,9686 = 96,86 % = 1 ku 1,0324.

Návratnost při dlouhodobém sázení

Nyní spočítáme výhodu (marži) provozovatele loterijní hry Powerball a návratnost hráče při dlouhodobém sázení. Jako obvykle k tomu využijeme očekávanou hodnotu (sloupec EV – z angličtiny Expected Value), která je součtem součinů jednotlivých výher/prohry a pravděpodobností jejich získání/ztracení. Očekávaná hodnota tak bere v úvahu, kolik můžeme vyhrát a s jakou pravděpodobností.

→ Hodnocení šance na výhru v loterii.

Jak jsme zmínili výše, jediná první cena (jackpot) je proměnlivá. Při výpočtech jsme použili průměrný jackpot $255 000 000, který uvádí na svých stránkách provozovatel loterie. Součin „Čisté výhry …jako násobku“ a „Pravděpodobnosti“ dává první dílčí výsledek pro výpočet EV 0,7276, takto postupujeme po řádcích a nakonec vše sečteme a získáme hledanou očekávanou hodnotu (výhodu, marži) sázkové kanceláře -0,0921 či -9,21 %. Čím nižší marže sázkovky, tím samozřejmě lépe pro hráče. Takto nízká marže by znamenala průměrnou dlouhodobou návratnost sázejícího 100 % – 9,21 % = 90,79 %. Například návratnost ve Sportce je pouhých 50 % (= marže Sazky je 50 %).

To vypadá velmi optimisticky pro hráče. Jak jsme však předeslali, značně závisí na velikosti jackpotu. Proto jsme zkusili do výpočetní tabulky dosadit minimální garantovaný jackpot $40 000 000 a očekávaná hodnota (hráče) se propadne na -70,56 %, návratnost by tedy byla pouhých zhruba 30 %. Zkusme ještě výši jackpotu někde mezi, třeba $120 000 000. Očekávaná hodnota je potom -47,73 %, návratnost 52,27 %. To znamená, že z každého vsazeného dolaru by se nám v dlouhodobém průměru vrátilo jen zhruba 30 resp. 52 centů.

Pro přehlednost můžeme shrnout očekávané hodnoty při různých výších jackpotu:

Powerplay

Další možností, jak okořenit hru, je hrát powerplay. Klade však před sázejícího určité dilema: sázka stojí o jeden dolar navíc, nabízí vyšší pevné výhry pro pořadí 2 až 9 (zhruba dvojnásobné), ale nezahrnuje jackpot. Vyplatí se to? Přijde na to.

Z krátkodobého hlediska, pokud by se na nás usmálo štěstí, můžeme vyhrát více, i když za vyšší cenu tiketu. Z pohledu dlouhodobého sázení – což je asi relevantnější pohled, neboť nelze očekávat, že v loterii jednoduše nebo rychle vyhrajeme – si na pomoc opět vezmeme očekávanou hodnotu a ta vychází -70,95 %. To je o dost více než u běžné hry s průměrným jackpotem. V průměru bychom ztráceli asi 70 centů z každého vsazeného dolaru.

Tabulka 2: Výherní pořadí, pravděpodobnosti výhry a prohry v loterii Powerball-powerplay

Powerball-powerplay – pravděpodobnost výhry, očekávaná hodnota

Zdroj: pořadí, výhry viz stránky www.powerball.com/powerball/pb_prizes.asp (cit. 2012-11-30), zpracování a výpočty vlastní

Výplata výhry

Výherci americké loterie Powerball musí vyřešit ještě příjemné dilema. Mají možnost si buď nechat vyplatit celou výhru najednou, ta ale podléhá federální dani ve výši 35 %, anebo si nechat vyplácet celou nezdaněnou výhru po dobu 29 let (30 splátek).

Kam dál?

EN Powerball v angličtině.